北师大版八上数学2.2 平方根 知识精讲

知识点汇总

基本概念

1、平方根

如果x的平方等于a，那么x叫做a的平方根.

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方与开平方互为逆运算.  

a（a≥0）的平方根的符号表达为±√a(a≥0)，其中√a是a的算术平方根。（根号电脑无法输入，此处仅为示意，请以授课中的根号表示方法为准）

【要点诠释】

当式子√a有意义时，a一定表示一个非负数，即√a≥0，a≥0。

平方根和算术平方根的区别

2、区别：

（1）定义不同；（2）结果不同；

3、联系：

（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0．

【要点诠释】

（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

4.平方根的性质

5.平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：

今日练习

1.计算的结果是：

【参考答案】

1.根据2²=4，即可得出4的算术平方根.
考点：算术平方根
点评：此题考查了算术平方根。注意：一个正数的算术平方根为正数.

为什么要学习平方根？

       首先是出于解决实际问题的需要。在我们的生活中会遇到“已知正方形面积求边长”的问题，这也是课本所采取的引入方法。

       其次从数学本身的逻辑顺序看，在学习乘方运算后，其逆运算开方运算也就自然出现了。因此从逆运算的角度也可以直接给出平方根和开平方的概念。

如何理解平方根？

        开平方是“已知一个数的平方，求这个数”的过程。因此，从运算的角度，平方根是平方运算逆运算所得的结果。

        此外，正数的正平方根还有很好的实际意义——已知面积的正方形边长。

        最后，我们不得不注意平方根对数系的扩充具有重要意义。第一次数学危机后，数系从有理数扩充到实数，而平方根在这个过程中起到至关重要的作用。因此平方根是数系扩充的关键，也是学习实数的基础。

教学的重点难点是什么？

       本节内容学生的错误率高，经常不是答案缺漏就是画蛇添足。究其本质，还是概念不清以及文字语言和符号语言无法准确对应。为什么会出现这种情况呢？学生学习的难度在哪里呢？我们认为：首先，知识本身有较高的难度，主要源于抽象的字母、符号，和逆运算所需的逆向思维；其次，学生接触负数时间短，在逆向思维时容易习惯性地想到正数而忽略负数；最后，在接触平方根之前，学生印象中计算结果都是唯一的，而平方根的出现打破了这种认知，造成了困难。

        因此，本节课的重点包括：（1）能区分、辨别平方根、算术平方根的概念和符号；（2）理解乘方和开方互为逆运算关系；（3）能在符号语言和文字语言间进行对应和转化。难点在于：能熟练准确地使用平方根、算术平方根的文字语言和符号语言。

如何在教学中突出重点，突破难点？

        在本课的概念落实上，相较于浙教版，讨论组成员认为人教版的设计更为合理。人教版以“正方形面积导入——算术平方根的概念及符号表示——（无理数估值）——平方根和开平方运算的概念——平方根的符号表示”的顺序展开教学，强化了算术平方根概念的引入，展现了一个从实际需要到完善概念的过程，由易到难，由实际到抽象，过渡自然，重点知识逐一呈现。

       在难点的突破上可尝试形式多样的反复操练。文字语言、符号语言相融合，规范的书写格式和简略的口答相结合，在练习中区分概念、夯实基础，以达到熟能生巧的目标。

平方根有哪些应用？

       平方根无论在数学内部还是在其他学科中都有广泛的应用。

       数学学习的后续内容，如一元二次方程、勾股定理等知识中均有平方根的应用。如用直接开平方法求解一元二次方程的根，用勾股定理求直角三角形斜边的长。

       物理是广泛应用数学原理的一门学科，如物理中的匀加速运动，当已知位移求时间时，就需要计算算术平方根。