北师大版八下数学 1.4 《 角平分线》 知识点精讲
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角平分线的性质 知识点
角平分线（一）教学设计
一、学生知识状况分析
本节在学习了直角三角形全等的判定定理及已有公理和学过的定理的基础上进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，学习角平分线的画法，并还能说明所作的射线是角平分线的理由，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．
二、教学任务分析
本节课的教学目标是：
．知识目标：
①角平分线的性质定理的证明．
②角平分线的判定定理的证明．
③用尺规作已知角的角平分线．
．能力目标：
①进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．
②体验解决问题策略的多样性，提高实践能力．
．情感与价值观要求
①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
．教学重点、难点
重点
①角平分线的性质和判定定理的证明．
②用尺规作已知角的角平分线并说明理由．
难点
①正确地表述角平分线性质定理的逆命题．
②正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明．
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：设置情境 温故知新；第二环节：展示思维空间.构建活动空间；第三环节：随堂练习 及时巩固；第四环节：课时小结；第五环节：课后作业
第一环节：设置情境 温故知新
搭建探究平台问题
我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：
从折纸过程中，我们可以得出，
即角平分线上的点到角两边的距离相等．
你能证明它吗?
第二环节：展示思维空间.构建活动空间
请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流．
已知：如图，是∠的平分线，点在上，⊥，⊥，垂足分别为、．
求证：．
证明：∵∠∠，，
∠∠°，
∴△≌△()．
∴(全等三角形的对应边相等)．
(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)
我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理，我们再来一起陈述：(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题．你能写出这个定理的逆命题吗?
我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．
此时有学生提问：“我觉得这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．”
教师肯定这位同学思考问题很仔细．并加以解释。事实上，从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而“角的内部”通常是指其中小于°的角的内部，其余部分为角的外部．如上图所示，到∠两边距离相等的点的集合应是射线、、、，但其中只有射线(即在∠内部的射线)才是∠的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件．
再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题。
在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
它是真命题吗? 你能证明它吗?
[生]没有加“在角的内部”时，是假命题．
(由大家自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导)
证明如下：
已知：在么内部有一点，且上，⊥，、为垂足且，
求证：点在么的角平分线上．
证明：⊥，⊥，
∴∠∠ °．
在△和△中
，，∴△≌△(定理)．
∴∠∠(全等三角形对应角相等)．
逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。
你能用什么办法平分一个已知角呢?能利用角平分线的性质定理和判定定理平分一个角吗？请在小组内交流．
学生提出：可以用量角器、三角尺、角尺等以前常见的方法．
教师提出：学习的是用直尺和圆规平分一个已知角．
已知：∠(如图)
求作：射线，使∠∠．
作法：、在和上分别分别截取、，使．
．分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在么内交于点．
．作射线
就是∠的平分线．
(教学时，教师可以边介绍作法，边让学生动手完成整个操作过程)
完成做法后，请学生说明为什么是∠的平分线，与同伴交流．
从作图的过程中，不难发现，，，
△≌△()．
∴∠∠，即是∠的角平分线．
第三环节：随堂练习 及时巩固
如图，、分别是△中∠的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？
解：∵平分∠．
∴又∠∠∠
又∵平分∠．
∠∠°，
∴∠∠∠
∵∠∠°
∴∠∠（∠∠）×°°，即⊥．
第四环节：课时小结
这节课我们在折纸的基础上，证明了角平分线的性质定理和判定定理，并学习了用尺规作一个已知角的角平分线，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
第五环节：课后作业
．习题．第，，题．
．阅读 “读一读”，使学生通过了解数学发展史上与尺规作图有关的“三大几何难题”，开阔他们的视野，体会数学家坚忍不拔的科学探索精神．
四、教学反思
教学时，主要运用启发式教学，采用‘‘实验——猜想——验证”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯．学生初学角平分线的性质定理和判定定理，容易将角平分线上的一点到这个角两边的距离误认为过这点垂直于角平分线的垂线段．因此在教学中应首先让学生通过画三角形纸片的折痕来充分认识这一点．学生往往不能正确区分出角平分线的性质定理和判定定理，因此要通过分析定理的题设和结论帮学生正确认识．学生习惯用于找全等三角形的方法去解决问题，而不注重利用刚学过的定理来解决，这实际上是对定理的重复证明，这一点在教学时要注意。
角平分线（二）教学设计
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解和理解，在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生证明推理能力。
二、教学任务分析
本节课的教学目标是：
．知识目标：
（）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．
（）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．
．能力目标：
（）进一步发展学生的推理证明意识和能力．
（）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．
（）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．
．情感与价值观要求
①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
．教学重点、难点
重点
①三角形三个内角的平分线的性质．
②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．
难点
角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：设置情境问题，搭建探究平台；第二环节：展示思维过程，构建探究平台；第三环节：例题讲解；第四环节：课时小结;第五环节：课后作业。
第一环节：设置情境问题，搭建探究平台
问题习题．的第题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？
于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”．
当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。
第二环节：展示思维过程，构建探究平台
已知：如图，设△的角平分线．、相交于点，
证明：点在∠的角平分线上．
证明：过点作⊥，⊥，⊥，其中、、是垂足．
∵是△的角平分线，点在上，
∴(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．
同理：．
∴．
∴点在∠的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．
∴△的三条角平分线相交于点．
在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?
（，即这个交点到三角形三边的距离相等．）
于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线三条角平分线
三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点
钝角三角形交于三角形外一点
直角三角形交于斜边的中点
交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等
问题
如图：直线、、表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的?
要求学生思考、交流。实况如下：
[生]有一处．在三条公路的交点、、组成的△三条角平分线的交点处．因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等．而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等．这一点刚好符合．
[生]我找到四处．(同学们很吃惊)除了刚才同学找到的三角形内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点．作∠、∠外角的平分线交于点(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点在∠的角平分线上，且到、、的距离相等．同理还有∠、∠的外角的角平分线的交点；因此满足条件共个，分别是、、、
教师讲评。
第三环节：例题讲解
[例]如图，在△中．，∠°，是△的角平分线，⊥，垂足为．
()已知，求的长；
()求证：．
分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第()问中，求的长，需求出的长，而，，而在等腰直角三角形中，根据角平分线的性质，，再根据勾股定理便可求出的长．第()问中，求证．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想，所以需证，．
()解：∵是△的角平分线，
∠°，⊥．
∴4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．
∵∠∠∴∠∠(等边对等角)．
∵∠°，
∴∠×°°．
∴∠°—°＝°．
∴(等角对等边)．
在等腰直角三角形中
(勾股定理)，
∴()．
()证明：由()的求解过程可知，
△≌△(定理)
∴．
∵，
∴．
[例]已知：如图，是么平分线上的一点，⊥，⊥，垂足分别为、．
求证：()；
()是的垂直平分线．
证明：()是∠角平分线上的一点，⊥，⊥，
∴(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
在△和△中，
，，
∴△≌△(定理)．
∴(全等三角形对应边相等)．
()又是∠的角平分线，
∴是的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)．
思考：图中还有哪些相等的线段和角呢?
第四环节：课时小结
本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．
第五环节：课后作业
习题．第、题
四、教学反思
本节对学生能力的要求很高，如例中问题作为教师要善于 利用这个典型例题，加以发挥，使例题的功能得以体现，达到以点带线，以线带面的功效。如果课堂时间允许还可以将该题加以改变，用多种方法证明和求解。
图文解析
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