北师大版七下册数学5.4《利用轴对称进行设计》知识点精讲
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1.做轴对称图形
可以根据两个图形成轴对称的性质，先确定图形关键点关于已知直统的对称点，然后依顺序连接点即可得已知图形关系直线的对称图形，
费点途称。己知一点和直线确定其对称点的作法如下，过这一点作已知直线的垂线。得到线段，再以重足为起点，在直线的另一旁鼓取一一点，使这条线段的长与重线段等长，截取的这点就是已知点关于直线的对称点。
2对称轴的作法
若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴、轴对称图形的对称轴作法相同，
要点途释:
在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上，如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称，
1.等腰三角形的性质
性质1:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”。
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(面称“三线合一”。
要点设释。
(1)性质1证明同一个三角形中的两角相等，是证明角相等的一个重要依据、
(2)性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等，
(3)等腰三角形底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所在直线是它的对称轴，
通常情况只有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴、
2等姓三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称"等角对等边”。
要点三、线段垂直平分线性质定理及其逆定理
线段垂直平分线(也称中垂线)的性质定理是:线段的垂直平分线上的点到这条线段
的两个端点的距离相等;逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
要点诠释:
性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等;逆定理则是在结
论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.
要点四、角平分线性质定理及其逆定理
角平分线性质定理是:角平分线上的任意点，到角两边的距离相等:逆定理:在角的
内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.
要点诠释:
性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了;逆定理则是在结论中确定角
被平分，--定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了，
要点五、利用轴对称性质进行简单设计
欣赏现实生活中的轴对称图形，能利用轴对称进行一些图案设计，体验轴对称在现实
。生活中的广泛应用和丰富的文化价值，感受生活中的数学美.
【学习目标】
1．理解轴对称变换，能按要求作出简单平面图形经轴对称后的图形；能利用轴对称变换，设计一些图案，解决简单的实际问题.
2. 探索等腰三角形的性质定理以及判定定理，能熟练运用它们进行推理和计算．
3. 会作线段的垂直平分线和角的平分线，探索线段垂直平分线和角平分线的性质定理与判定定理，能用它们解决几何计算与证明题.
4．积累探究图形性质的活动经验，发展空间观念，同时能运用轴对称的性质，解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题的能力．
【要点梳理】
要点一、作轴对称图形和对称轴
1.做轴对称图形
可以根据两个图形成轴对称的性质，先确定图形关键点关于已知直线的对称点，然后依顺序连接点即可得已知图形关系直线的对称图形.
要点诠释：已知一点和直线确定其对称点的作法如下：过这一点作已知直线的垂线，得垂线段，再以垂足为起点，在直线的另一旁截取一点，使这条线段的长与垂线段等长，截取的这点就是已知点关于直线的对称点.
2.对称轴的作法
若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．
要点诠释：
在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
要点二、等腰三角形的性质及判定
1.等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
2.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
要点诠释：
（1）性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
（2）性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
（3）等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴．
3.等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
要点三、等边三角形的性质及判定
1.等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形．
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
2.等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°．
3.等边三角形的判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.
要点四、线段垂直平分线性质定理及其逆定理
线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：
性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.
要点五、角平分线性质定理及其逆定理
角平分线性质定理是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；逆定理：在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.
要点诠释：
性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.
要点六、利用轴对称性质进行简单设计
欣赏现实生活中的轴对称图形，能利用轴对称进行一些图案设计，体验轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值，感受生活中的数学美.
【典型例题】
类型一、作轴对称图形及对称轴
1、已知如下图，求作△ABC关于对称轴l的轴对称图形△A′B′C′．
【思路点拨】分别作出点B与点C关于直线l的对称点，然后连接AB′，AC′，B′C′．即可得到△ABC关于对称轴l的轴对称图形△A′B′C′．
【答案与解析】
解：
【总结升华】作一个图形的对称图形就是作各个顶点关于对称轴的对称点，把作对称图形的问题可以转化为作点的对称点的问题．
类型二、等腰三角形的性质与判定
2、已知：如图，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF
并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD．
求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．
【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知AD＝DC，易证△ABD≌△CFD，要证BE⊥AC，只需证∠BEC＝90°即可，DF＝BD，可知∠FBD＝45°，由已知∠ACD＝45°，可知∠BEC＝90°.
【答案与解析】
【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证△ABD≌△CFD，推出BD=FD，求出∠FBD=∠BFD=45°．
图文导学
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