三角函数

7.1 任意角的概念与弧度制

7.1.1 角的推广 ...................................3

7.1.2 弧度制及其与角度制的换算.........8

7.2 任意角的三角函数

7.2.1 三角函数的定义.........................14

7.2.2 单位圆与三角函数线..................18

7.2.3 同角三角函数的基本关系式........22

7.2.4 诱导公式...................................27

7.3 三角函数的性质与图像

7.3.1 正弦函数的性质与图像...............36

7.3.2 正弦型函数的性质与图像............43 

7.3.3 余弦函数的性质与图像...............50

7.3.4 正切函数的性质与图像...............54

7.3.5 已知三角函数值求角..................57

7.4 数学建模活动：周期现象的描述....64

本章小结............................................66

向量的数量积与三角恒等变换

8.1 向量的数量积

8.1.1 向量数量积的概念..................71 

8.1.2 向量数量积的运算律..............76

8.1.3 向量数量积的坐标运算...........81

8.2 三角恒等变换

8.2.1 两角和与差的余弦.................87

8.2.2 两角和与差的正弦、正切........90

8.2.3 倍角公式..............................96

8.2.4 三角恒等变换的应用...........99

本章小结.....................................107 

本书拓展阅读目录

更多三角函数及关系式..................25

向量的数量积与三角形的面积........84

正弦型函数与信号处理.................103

知识点总结

三角函数

1.正弦函数图像（几何法）

2.正切函数图像

3.三角函数的图像与性质

4.主要研究方法

5.主要内容

三角函数解题技巧

三角函数是高考数学核心考点之一。它侧重于考查学生的观察能力、思维能力和综合分析能力，在高考试题中始终保持"一大一小"甚至是"一大两小"的模式。

一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间(-90o，90o)的公式.

1、sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；

2、cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；

3、 tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；

4、cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).

二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”

1、sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方(或下方)；

2、sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方(或下方)；

3、|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内；

4、|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.

三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，仍然注意“符号看象限”。

四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。

五、“见齐思弦”=>“化弦为一”：已知tanα，求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.

六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：

1、sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β；

2、 cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.

七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：

(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α，故

1、若sinα+cosα=t，(且t2≤2)，则2sinαcosα=t2-1=sin2α；

2、若sinα-cosα=t，(且t2≤2)，则2sinαcosα=1-t2=sin2α.

八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式：

tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？

九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)

1、函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称；

2、函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；

3、同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。

十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式：

1、|sinx|≤1，|cosx|≤1；

2、(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2)；

3、asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2.

十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化.

1、cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.

2、2x=(x+y)+(x-y)；

2y=(x+y)-(x-y)；x-w=(x+y)-(y+w)等。

正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数统称为三角函数。它们的地位和作用与一次函数、二次函数、幂函数、指数函数以及对数函数一样，都是基本初等函数。

任意角 知识点

弧度制 知识点

定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符合rad表示，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数为0。

角度与弧度的换算：

360^o=2π rad      180^o=π rad

弧度制及其与角度制的换算

任意角的三角函数

同角三角函数的基本关系式及诱导公式

　　正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

　　(一)三角函数的性质

　　正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

正弦函数的性质与图像

正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中的参数A，ω，φ对函数图象变化的影响

如何求A，ω，φ

余弦函数的性质与图像

y=cosx

象限角转一周回到原始位置，所以正弦/余弦的最小正周期是

取5个特殊点，

描成曲线，

延伸成整个定义域上的的图像：

为了方便起见，先研究一个周期内的函数图像和性质，然后扩展到整个定义域上，由

的图像可观察到：

延伸成整个定义域上的的图像之后的性质有：

正切函数的性质与图像

已知三角函数值求角

1、反三角概念：

（1）若sinx=a  则x=arcsina

说明：a>0，arcsina为锐角;  a=0,arcsina=0;  a<0, arcsina为“负锐角”。

（2） 若cosx=a 则x=arccosa

说明：a>0，arccosa为锐角;  a=0,arccosa=90⁰;  a<0, arccosa为钝角。

（3）若tanx=a 则x=arctana

说明：a>0，arctana为锐角;  a=0,arctana=0;  a<0, arctana为“负锐角”。

如；arcsin,arcsin.

arccos,arctan3>,而arctan(-3)=--arctan3.

而sin(arcsin不存在。

2、反三角关系：

(1)  arcsin(-x)=-arcsinax;  arctan(-x)=arctanx;  arcos(-x)=π-arccosx

由此可知：是匠函数，而非奇非偶。

(2)  arcsinx+arccosx=

3、时求角x：

数学建模活动：周期现象的描述

向量的数量积

（1）两个向量的数量积是一个数量，不是向量；

（2）求两个向量的夹角要起点相同，如果不同，要平移至起点相同；

（3）要求模，先平方；

（4）要证明两个非零向量垂直，可以证明它们的数量积为0；

（5）数量积不满足消去律（即不能随便约分）

向量数量积的坐标运算

1、平面向量的坐标表示：

在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量

作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量

由于 α 与数对(x,y) 是一一对应的，因此把 (x,y) 叫做向量 α 的坐标，记作 α =(x,y)，其中 x 叫作 α 在 x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标 。

(1) 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 ；

(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 。

2、平面向量的坐标运算：

3、两个向量的数量积：

已知两个非零向量

它们的夹角为 θ ，

4、向量的投影：

5、数量积的几何意义：

6、向量的模与平方的关系：

7、两个向量的数量积的坐标运算：

8、向量的夹角：

已知两个非零向量

9、垂直：

10、两个非零向量垂直的充要条件：

1、向量的坐标运算

例1、如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD 与 BE 交于 F，

2、向量共线的条件

例题2、（1）已知向量a＝(sinx,1)，b＝(cosx，－3)，且a∥b，则tanx＝________.

 3、平面向量的基本定理

例题3、

(2)如图，在△ABC中，D、E 分别是 BC、AC 的中点，F 为 AB上一点，

（3) 在△ABC中，过中线 AD 的中点 E 任作一条直线分别交 AB、AC 于M、N 两点，

4、向量的数量积

例题4、

[解析]　以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

三角恒等变换

两角和与差的余弦

倍角公式

思维导图

▼

电子课本→教师用书下载