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高中数学《排列与组合》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-12

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知识点:


一、排列

  1 定义

  (1)从n个不同元素中取出m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。

  (2)从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记为 Amn.

  2 排列数的公式与性质

  (1)排列数的公式:Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

  特例:当m=n时, Amn=n!=n(n-1)(n-2)…×3×2×1

  规定:0!=1

  二、组合

  1 定义

  (1)从n个不同元素中取出 m个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

  (2)从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号 Cmn表示。

  2 比较与鉴别

  由排列与组合的定义知,获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程,而获得一个组合只需要“取出元素”,不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。

  排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关,而排列不仅与选取的元素有关,而且还与取出元素的顺序有关。因此,所给问题是否与取出元素的顺序有关,是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。

  三、排列组合与二项式定理知识点

  1.计数原理知识点

  ①乘法原理:N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理:N=n1+n2+n3+…+nM (分类)

  2. 排列(有序)与组合(无序)

  Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)­…(n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n!

  Cnm = n!/(n-m)!m!

  Cnm= Cnn-m  Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k•k!=(k+1)!-k!

  3.排列组合混合题的解题原则:先选后排,先分再排

  排列组合题的主要解题方法:优先法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素. 以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.

  捆绑法(集团元素法,把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)

  插空法(解决相间问题)  间接法和去杂法等等

  在求解排列与组合应用问题时,应注意:

  (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;

  (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;

  (3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;

  (4)列出式子计算和作答.

  经常运用的数学思想是:

  ①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.

  4.二项式定理知识点:

  ①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+­…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn

  特别地:(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn

  ②主要性质和主要结论:对称性Cnm=Cnn-m

  最大二项式系数在中间。(要注意n为奇数还是偶数,答案是中间一项还是中间两项)

  所有二项式系数的和:Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n

  奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和

  Cn0+Cn2+Cn4+ Cn6+ Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+ Cn7+ Cn9+…=2n -1

  ③通项为第r+1项: Tr+1= Cnran-rbr 作用:处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。

  5.二项式定理的应用:解决有关近似计算、整除问题,运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。

  6.注意二项式系数与项的系数(字母项的系数,指定项的系数等,指运算结果的系数)的区别,在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。


教案:


课件:


练习:


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