高中数学《4.2.1 随机变量及其与事件的联系》微课精讲+知识点+教案课件+习题

知识点：

随机变量

这一块基于文档会补充一些知识， 比如连续型随机变量和常见分布， 然后在数字特征那里补充方差，协方差和相关系数的numpy和pandas的实现。 当然随机变量这里还有多维随机变量及其分布的内容， 但是篇幅有些多， 就不整理到这里了， 以后用到现查吧。

1. 随机变量及其分布函数

举个例子：我们假设抛掷一枚硬币抛三次， 那么我们的样本空间是

以记三次投掷得到正面的总数， 那么样本空间中的每个样本点, 都有一个数与之对应， 那么就是定义在样本空间上的实值单值函数。它的定义域是样本空间， 值域是实数集合{0, 1, 2, 3}， 使用函数可将表示成：

通过这种方式， 就把样本点映射到了实数上。

视频教学：

练习：

一、选择题

1．将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是(　　)

A．两次掷得的点数

B．两次掷得的点数之和

C．两次掷得的最大点数

D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数差

2．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为(　　)

A．6  B．5

C．4  D．2

3．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是(　　)

A．一枚是3点，一枚是1点

B．两枚都是2点

C．两枚都是4点

D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点

4．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为(　　)

A．0≤X≤5，X∈N  B．－5≤X≤0，X∈Z

C．1≤X≤6，X∈N  D．－5≤X≤5，X∈Z

二、填空题

5．一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X，则随机变量可能的取值为__________，这些值所表示的事件为

___________________________________________________．

6．投掷两枚骰子，所得点数之和是偶数X.则随机变量可能的取值为__________________________________，这些值所表示的事件为__________．

7．下列随机变量中不是离散型随机变量的是________．(填序号)

①某宾馆每天入住的旅客数量是X；

②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X；

③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；

④虎门大桥一天经过的车辆数是X.

课件：

教案：

4．　随机变量及其与事件的联系

知识点一　随机变量的概念

定义：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量．随机变量常用大写字母____，____，Z…或小写希腊字母ξ，ζ，η…表示．随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值X围．

状元随笔　随机变量的取值由随机试验的结果决定．

知识点二　用随机变量表示事件

一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且：

(1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥；

(2)事件X≤a与X>a相互对立，因此P(X≤a)＋P(X>a)＝1.

状元随笔　用随机变量表示事件与事件的概率时，有时可不写出样本空间．

知识点三　随机变量之间的关系

一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量．由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)．

 [基础自测]

1．给出下列四个命题：

①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；

②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；

③一条河流每年的最大流量是随机变量；

④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．

其中正确的个数是()

A．1  B．2

C．3  D．4

2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的事件是()

A．第5次击中目标B．第5次未击中目标

C．前4次均未击中目标  D．第4次击中目标

3．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是________．

4．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为12，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________．

题型一　随机变量的概念

例1判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．

利用随机变量的定义判断．(1)国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量；

(2)2019年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；

(3)2019年6月1日某某到的某次动车到站的时间；

(4)体积为1 000 cm³的球的半径长．

方法归纳

随机变量的辨析方法

1．随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．

2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．

如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．跟踪训练1(1)下列变量中，不是随机变量的是()

A．一射击手射击一次命中的环数

B．标准状态下，水沸腾时的温度

C．抛掷两枚骰子，所得点数之和

D．某总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数

(2)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()

A．取到产品的件数B．取到正品的概率

C．取到次品的件数   D．取到次品的概率

题型二　离散型随机变量的判定

例2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．

(1)某座大桥一天经过的车辆数X；

(2)某超市5月份每天的销售额；

(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；

(4)某某某某市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一X围内变化，该水位站所测水位ξ.

方法归纳

“三步法”判定离散型随机变量

1．依据具体情境分析变量是否为随机变量．

2．由条件求解随机变量的值域．

3．判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．

跟踪训练2一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.

(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；

(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量．

题型三　随机变量的可能取值与事件的对应关系

状元随笔1.抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？

[提示]　可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．

2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？

[提示]X＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？

[提示]“ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．

例3写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的事件．

(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；

(2)从标有1,2,3,4,5,6的6X卡片中任取2X，所取卡片上的数字之和．

状元随笔

方法归纳

用随机变量表示事件

问题的关键点和注意点

(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．

(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．

跟踪训练3写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．

(1)在2018年大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；

(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．

题型四　随机变量之间的关系

先求随机变量X的取值及相应概率，再求随机变量X与Y的关系．例4袋中有4个红球、3个黑球，从袋中随机取球，若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．

(1)设取得红球个数为X，求X的所有取值；

(2)设得分为Y，写出X与Y之间的关系式；

(3)求Y>6分的概率．

方法归纳

先求随机变量X的取值及相应概率，再求随机变量X与Y的关系(Y＝at＋b，a，b为常数)；根据：“X＝t的充要条件是Y＝at＋b；因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)”求Y的概率．

跟踪训练4在一次比赛中需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．

(1)设选手甲正确回答这三个问题的个数为X，则X的取值是多少？

(2)选手甲回答这三个问题的总得分Y的所有可能取值是多少？

(3)若P(X>1)＝，求P(Y≤－100)．

4．2随机变量

4．　随机变量及其与事件的联系

新知初探·自主学习

知识点一

XY

[基础自测]

1．解析：由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的．故选D.

答案：D

2．解析：{ξ＝5}表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，故选C.

答案：C

3．解析：由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1,2,3,4,5中某个．故两次抽取球之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9种．

答案：9

4．解析：甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．

答案：0,1,2,3

课堂探究·素养提升

例1【解析】(1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．

(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．

(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．

(4)球的体积为1 000 cm³时，球的半径为定值，不是随机变量．

跟踪训练1　解析：(1)B项中水沸腾时的温度是一个确定值．

(2)A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．

答案：(1)B(2)C

例2【解析】(1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．

(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．

(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．

(4)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一X围内变化，不能按次序一一列举．

跟踪训练2　解析：(1)

(2)由题意可得：η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值X围为{0,1,2,3}，所以η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21.显然，η为离散型随机变量．

例3【解析】(1)设所需的取球次数为X，则

X＝1,2,3,4，…，10,11，

X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2，…，11.

(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5，…，11.

X＝3，表示“取出标有1,2的两X卡片”；

X＝4，表示“取出标有1,3的两X卡片”；

X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两X卡片”；

X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两X卡片”；

X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两X卡片”；

X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两X卡片”；

X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两X卡片”；

X＝10，表示“取出标有4,6的两X卡片”；

X＝11，表示“取出标有5,6的两X卡片”．

跟踪训练3　解析：(1)X可能取值0,1,2,3,4,5，

X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.

(2)ξ可能取值为0,1，

当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；

当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．

例4【解析】(1)设取得红球个数为X，求X的所有取值为1、2、3、4

(2)依题意有：Y＝2X＋4－X＝X＋4；

(3)因为Y>6，所以X＋4>6，所以X>2，所以P(Y>6)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝1235＋135＝1335.

跟踪训练4　解析：(1)则X的取值是0、1、2、3；

(2)可能有全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．

(3)因为Y＝100X－100(3－X)＝200X－300，由X>1得Y>－100，所以P(X>1)＝P(Y>－100)＝；P(Y≤－100)＝1－P(Y>－100)＝0.4.

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