高中数学《4.2.4 随机变量的数字特征》微课精讲+知识点+教案课件+习题

知识点：

1. 数学期望

离散型随机变量的数学期望 E(X)：

连续型随机变量的数学期望 E(X)：

这里的 f(x) 表示随机变量 X 的概率密度。

2. 期望的性质

1. E(C)=C，C为常数

2. E(X+C)=E(X)+C，C为常数

3. E(CX)=CE(X)，C为常数

4. E(X+Y)=E(X)+E(Y)

5. 设X，Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)

3. 方差与标准差

4. 方差的性质

5. 常用分布的期望与方差

6. 协方差及性质

7. 相关系数

8. 矩与协方差矩阵

9. 切比雪夫不等式

视频教学：

练习：

1.(2011·烟台模拟)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<< span="">ξ<0)＝(　　)

A.12＋p     B.12－p

C．1－2p     D．1－p

[答案]　B

[解析]　∵ξ～N(0,1)，

∴P(ξ<－1)＝< span="">P(ξ>1)＝p，

∴P(－1<< span="">ξ<0)＝< span="">12[1－2p(ξ>1)]＝12－p.

2．(2012·浙江嘉兴模拟)甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都是23，则面试结束后通过的人数X的数学期望是(　　)

A.43     B.119 

C．1     D.89

[答案]　A

[解析]　依题意，X的取值为0、1、2.

且P(X＝0)＝(1－23)×(1－23)＝19，

P(X＝1)＝23×(1－23)＋(1－23)×23＝49，

P(X＝2)＝23×23＝49.

故X的数学期望E(X)＝0×19＋1×49＋2×49＝129＝43，选A.

3．(2011·盐城模拟)某人射击一次击中的概率为35，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为(　　)

A.81125     B.54125 

C.36125     D.27125

[答案]　A

[解析]　该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是

P₁＝C23·(35)²·25，

三次全部击中目标的概率是P₂＝C33·(35)³，

所以此人至少有两次击中目标的概率是

P＝P₁＋P₂＝C23·(35)²·25＋C33·(35)³＝81125.

4．(2011·福州调研)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a的值为(　　)

A.5     B．6 

C．7     D．8

[答案]　C

[解析]　由0.5＋0.1＋b＝1知，b＝0.4，

由E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3知，a＝7，故选C.

5．(2012·杭州质检)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是(　　)

A．(0，712)     B．(712，1)

C．(0，12)     D．(12，1)

[答案]　C

[解析]　由已知条件可得P(X＝1)＝p，

P(X＝2)＝(1－p)p，

P(X＝3)＝(1－p)²p＋(1－p)³＝(1－p)²，

则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)²＝p²－3p＋3>1.75，[来源:学科网ZXXK]

解得p>52或p<< span="">12，

又由p∈(0,1)，可得p∈(0，12)，故应选C.

6．已知随机变量ξ，η满足ξ＝2η－1，且ξ～B(10，p)，若E(ξ)＝8，则D(η)＝(　　)

A．0.5     B．0.8 

C．0.2     D．0.4

[答案]　D

[解析]　∵E(ξ)＝10p＝8，∴p＝0.8，∴D(ξ)＝10p(1－p)＝10×0.8×0.2＝1.6，又D(ξ)＝D(2η－1)＝4D(η)，∴D(η)＝0.4.

7．(2011·滨州模拟)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的件数，则E(ξ)＝________.[来源:学。科。网]

[答案]　34

[解析]　分布列如下：

∴E(ξ)＝0׳₁₂³₁₆＋1×¹²₁₂³₁₆＋2ײ¹₁₂³₁₆＋3׳₄³₁₆＝34.

8．如果ξ～B(100，12)，当P(ξ＝k)取得最大值时，k＝________.

[答案]　50

[解析]　P(ξ＝k)＝Ck100\a\vs4\al\co1(\f(12))^k·\a\vs4\al\co1(\f(12))^100－k

＝Ck100\a\vs4\al\co1(\f(12))¹⁰⁰，由组合数的性质知，当k＝50时取到最大值．

9．(2011·龙岩月考)袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E(ξ)＝________.

[答案]　1

[解析]　P(ξ＝0)＝²₃²₄＝12，P(ξ＝2)＝¹¹₁²₄＝12，

∴E(ξ)＝0×12＋2×12＝1.

课件：

教案：

知识点一　随机变量的数学期望的定义

一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x₁，x₂，…，x_n，这些值对应的概率是p₁，p₂，…，p_n，则E(X)＝____________________叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．

知识点二　随机变量的数学期望的意义

刻画了离散型随机变量的____________．

知识点三　离散型随机变量的方差与标准差

知识点四　两点分布、二项分布的数学期望

知识点五　服从两点分布与二项分布的随机变量的方差

(1)若X服从两点分布，则D(X)＝________；

(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝________.

知识点六　随机变量的数字特征的性质

如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量；则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b；D(Y)＝a²D(X)．

[基础自测]

1．下列说法正确的有________．(填序号)

①离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值；

②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；

③离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的波动水平；

④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平．

2．已知离散型随机变量X的分布列为：

则X的数学期望E(X)＝________.

3．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________.

4．已知随机变量X，D(X)＝19，则X的标准差为________．

5．若随机变量X服从二项分布B\a\vs4\al\co1(4，\f(13))，则E(X)的值为________．

6．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为，则罚球一次得分X的期望是________．

题型一　两点分布与二项分布的数学期望、方差

例1某运动员投篮命中率为p＝0.6.

(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望、方差；

(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望、方差．

状元随笔(1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望、方差公式求解．

方法归纳

1．常见的两种分布的均值

设p为一次试验中成功的概率，则

(1)两点分布E(X)＝p；D(X)＝pq

(2)二项分布E(X)＝np.D(X)＝npq

熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．

2．两点分布与二项分布辨析

(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．

(2)不同点：

①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x＝0,1,2，…，n.

②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．

跟踪训练1(1)某种种子每粒发芽的概率为，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()

A．100  B．200

C．300  D．400

(2)已知某离散型随机变量X服从的分布列如下，则随机变量X的数学期望E(X)等于()

A.19  B.29

C.13  D.23

题型二　离散型随机变量的数学期望、方差的概念及应用

例2设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽到一个，并且取出后不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数．

(1)求X的分布列、期望及方差；

(2)求Y的分布列、期望及方差．

状元随笔(1)可先求出X分布列，然后利用期望和方差公式求解；(2)可由Y分布列及其期望、方差公式求解，也可由期望、方差性质求解．

方法归纳

求离散型随机变量的数学期望、方差的类型及解决方法

1．已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下，

(1)求均值；(2)求方差．

2．已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下，

(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．

(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．

3．未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后求方差．

4．对于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝a²D(X)求解．

跟踪训练2有10X卡片，其中8X标有数字2,2X标有数字5，从中随机地抽取3X卡片，设3X卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ)．

题型三　期望、方差的综合应用

状元随笔，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：

A机床

B机床

试求E(X₁)，E(X₂)．

[提示]E(X₁)＝0×＋1×＋2×＋3×＝0.44.

E(X₂)＝0×＋1×＋2×＋3×＝0.44.

2．在1中，由E(X₁)和E(X₂)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？

[提示]　不能．因为E(X₁)＝E(X₂)．

3．在1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？

[提示]　利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．

例3甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.

(1)求ξ，η的分布列；

(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．

状元随笔(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．

(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值．

方法归纳

利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤

1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．

2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．

3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．跟踪训练3甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：

甲保护区：

乙保护区：

试评定这两个保护区的管理水平．

教材反思

4．　随机变量的数字特征

新知初探·自主学习

知识点一

x₁p₁＋x₂p₂＋…＋x_np_n＝

知识点二

平均取值

知识点三

[x₁－E(X)]²p₁＋[x₂－E(X)]²p₂＋…＋[x_n－E(X)]²p_n＝,\s\up6(ⁿ),\s\do4(_i＝1))[x_i－E(X)]²p_i　平均波动大小

知识点四

pnpnMN

知识点五

(1)p(1－p)(2)np(1－p)

[基础自测]

1．解析：①错误．因为离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平．

②错误．因为离散型随机变量X的方差D(X)反映了随机变量偏离于期望的平均程度．

③错误．因为离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的波动水平，而随机变量的期望E(X)反映了X取值的平均水平．

④正确．由方差的意义可知．

答案：④

2．解析：E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.

答案：32

3．解析：E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.

答案：35

4．解析：X的标准差X)＝19)＝13.

答案：13

5．解析：E(X)＝np＝4×13＝43.

答案：43

6．解析：因为P(X＝1)＝，P(X＝0)＝，所以

E(X)＝1×＋0×＝0.8.

答案：

课堂探究·素养提升

例1【解析】(1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：

则E(X)＝，D(X)＝0.24.

(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×＝3.D(X)＝npq＝1.2.

跟踪训练1　解析：(1)由题意可知，补种的种子数记为X，X服从二项分布，即X～B(1 000,0.1)，所以不发芽种子的数学期望为1 000×＝100.所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200.

(2)由题意可知m＋2m＝1，所以m＝13，所以E(X)＝0×13＋1×23＝23.

答案：(1)B(2)D

例2【解析】(1)X的可能取值为0,1,2.

若X＝0，表示没有取出次品，其概率为P(X＝0)＝³₁₀³₁₂＝611，同理，有P(X＝1)＝¹²₁₀³₁₂＝922，

P(X＝2)＝²¹₁₀³₁₂＝122.

∴X的分布列为

∴E(X)＝0×611＋1×922＋2×122＝12，

D(X)＝\a\vs4\al\co1(0－\f(12))²×611＋\a\vs4\al\co1(1－\f(12))²×922＋\a\vs4\al\co1(2－\f(12))²×122＝322＋988＋988＝1544.

(2)Y的可能取值为1,2,3，显然X＋Y＝3.

方法一：P(Y＝1)＝P(X＝2)＝122，

P(Y＝2)＝P(X＝1)＝922，

P(Y＝3)＝P(X＝0)＝611，

∴Y的分布列为

E(Y)＝1×122＋2×922＋3×611＝52，

D(Y)＝\a\vs4\al\co1(1－\f(52))²×122＋\a\vs4\al\co1(2－\f(52))²×922＋\a\vs4\al\co1(3－\f(52))²×611＝1544.

方法二：E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝52，

D(Y)＝D(3－X)＝(－1)²D(X)＝1544.

跟踪训练2　解析：这3X卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3X卡片上均标有2，

则P(ξ＝6)＝³₈³₁₀＝715.

ξ＝9表示取出的3X卡片上两X标有2，一X标有5，

则P(ξ＝9)＝²¹₂³₁₀＝715.

ξ＝12表示取出的3X卡片上一X标有2，两X标有5，

则P(ξ＝12)＝¹²₂³₁₀＝115.

∴ξ的分布列为

∴E(ξ)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.

D(ξ)＝(6－7.8)²×715＋(9－7.8)²×715＋(12－7.8)²×115＝3.36.

例3【解析】(1)由题意得：＋3a＋a＋＝1，解得a＝0.1.

因为乙射中10,9,8环的概率分别为，所以乙射中7环的概率为1－＋＋0.2)＝0.2.

所以ξ，η的分布列分别为

(2)由(1)得：

E(ξ)＝10×＋9×＋8×＋7×＝；

E(η)＝10×＋9×＋8×＋7×＝；

D(ξ)＝(10－9.2)²×＋(9－9.2)²×＋(8－9.2)²×＋(7－9.2)²×＝；

D(η)＝(10－8.7)²×＋(9－8.7)²×＋(8－8.7)²×＋(7－8.7)²×＝1.21.

由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<< span="">D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．

跟踪训练3　解析：甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为：

E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝；

D(X)＝(0－1.3)²×＋(1－1.3)²×＋(2－1.3)²×＋(3－1.3)²×＝1.21.

乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为：

E(Y)＝0×＋1×＋2×＝；

D(Y)＝(0－1.3)²×＋(1－1.3)²×＋(2－1.3)²×＝0.41.

因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高．

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