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高中数学《5.2.1 等差数列》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-12

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知识点:

等差数列 

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,那么这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.

等差数列的基本公式

通项公式

an=a1+(n-1)d ,注意:等差数列求和公式 

即 第n项=首项+(n-1)×公差(n是项数)

前n项和公式

(相当于n个等差中项之和).

注意:n是正整数


视频教学:


练习:

1.已知数列{an}是等差数列,a1+a7=-8,a2=2,则数列{an}的公差d等于(  )

A.-1                 B.-2   

C.-3          D.-4


2.已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,即a3+a4

(  )

A.6                     B.7             

C.8                     D.9


3.在等差数列{an}中,若a2+a9=10,则3a4+a10=(  )

A.10              B.15              C.20              D.25


4.下列说法中正确的是(  )

A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2成等差数列

B.若a,b,c成等差数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列

C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列

D.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列


5.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱(“钱”是古代的一种重量单位),令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱.”这个问题中,甲所得为(  )

A.54钱  B.43钱  C.32钱       D.53钱

课件:



教案:

【教学目标】

1. 知识与技能  

(1)理解等差数列的定义,会应用定义判断一个数列是否是等差数列:  

(2)账务等差数列的通项公式及其推导过程:

(3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。  

2. 过程与方法  

在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中,培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力,体验从特殊到一般,一般到特殊的认知规律,提高熟悉猜想和归纳的能力,渗透函数与方程的思想。  

3. 情感、态度与价值观  通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动,培养学生主动探索、用于发现的求知精神,激发学生的学习兴趣,让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中,使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。  

【教学重点】

①等差数列的概念;

②等差数列的通项公式  

【教学难点】  

①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;

②等差数列的通项公式的推导过程.  

【学情分析】  

我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生),经过一年的高中数学学习,大部分学生知识经验已较为丰富,他们的智力发展已到了形式运演阶段,具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力,但也有一部分学生的基础较弱,学习数学的兴趣还不是很浓,所以我在授课时注重从具体的生活实例出发,注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点,从而促进思维能力的进一步发展.  

【设计思路】  

1.教法  

①启发引导法:这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点,突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性,发挥其创造性.

②分组讨论法:有利于学生进行交流,及时发现问题,解决问题,调动学生的积极性.  

③讲练结合法:可以及时巩固所学内容,抓住重点,突破难点.  

2.学法  引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点,推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法.

【教学过程】  

一:创设情境,引入新课  

1.从0开始,将5的倍数按从小到大的顺序排列,得到的数列是什么? 

2.水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为18m,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m.那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位(单位:m)组成一个什么数列? 

3.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本息计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×存期).按活期存入10 000元钱,年利率是0.72%,那么按照单利,5年内各年末的本利和(单位:元)组成一个什么数列? 

教师:以上三个问题中的数蕴涵着三列数.

学生:  

1:0,5,10,15,20,25,….  

2:18,15.5,13,10.5,8,5.5.  

3:10072,10144,10216,10288,10360.  

(设置意图:从实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景,目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型.通过分析,由特殊到一般,激发学生学习探究知识的自主性,培养学生的归纳能力.  

二:观察归纳,形成定义  

①0,5,10,15,20,25,….  

②18,15.5,13,10.5,8,5.5.

 ③10072,10144,10216,10288,10360.  

思考1上述数列有什么共同特点? 

思考2根据上数列的共同特点,你能给出等差数列的一般定义吗? 

思考3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗? 

教师:引导学生思考这三列数具有的共同特征,然后让学生抓住数列的特征,归纳得出等差数列概念.  

学生:分组讨论,可能会有不同的答案:前数和后数的差符合一定规律;这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定.  

教师引导归纳出:等差数列的定义;另外,教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义.  

(设计意图:通过对一定数量感性材料的观察、分析,提炼出感性材料的本质属性;使学生体会到等差数列的规律和共同特点;一开始抓住:“从第二项起,每一项与它的前一项的差为同一常数”,落实对等差数列概念的准确表达.)

三:举一反三,巩固定义  

1. 判定下列数列是否为等差数列?若是,指出公差d.  

(1)1,1,1,1,1;  

(2)1,0,1,0,1;  

(3)2,1,0,-1,-2;  

(4)4,7,10,13,16.  

教师出示题目,学生思考回答.教师订正并强调求公差应注意的问题.  

注意:公差d是每一项(第2项起)与它的前一项的差,防止把被减数与减数弄颠倒,而且公差可以是正数,负数,也可以为0 .  

(设计意图:强化学生对等差数列“等差”特征的理解和应用).  

2. 思考4:设数列{an}的通项公式为an=3n+1,该数列是等差数列吗?为什么? 

(设计意图:强化等差数列的证明定义法)

四:利用定义,导出通项  

1. 已知等差数列:8,5,2,…,求第200项? 

2. 已知一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,如何求出它的任意项an呢? 

教师出示问题,放手让学生探究,然后选择列式具有代表性的上去板演或投影展示.根据学生在课堂上的具体情况进行具体评价、引导,总结推导方法,体会归纳思想以及累加求通项的方法;让学生初步尝试处理数列问题的常用方法.  

(设计意图:引导学生观察、归纳、猜想,培养学生合理的推理能力.学生在分组合作探究过程中,可能会找到多种不同的解决办法,教师要逐一点评,并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质,激发学生的创造意识.鼓励学生自主解答,培养学生运算能力)  

五:应用通项,解决问题  

1判断100是不是等差数列2, 9,16,…的项?如果是,是第几项?

2在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求a1,d和an.  

3求等差数列 3,7,11,…的第4项和第10项  

教师:给出问题,让学生自己操练,教师巡视学生答题情况.  

学生:教师叫学生代表总结此类题型的解题思路,教师补充:已知等差数列的首项和公差就可以求出其通项公式  

(设计意图:主要是熟悉公式,使学生从中体会公式与方程之间的联系.初步认识“基本量法”求解等差数列问题.)  

六:反馈练习:教材13页练习1  

七:归纳总结:  

1. 一个定义:等差数列的定义及定义表达式  

2. 一个公式:等差数列的通项公式  

3. 二个应用:定义和通项公式的应用  

教师:让学生思考整理,找几个代表发言,最后教师给出补充  

(设计意图:引导学生去联想本节课所涉及到的各个方面,沟通它们之间的联系,使学生能在新的高度上去重新认识和掌握基本概念,并灵活运用基本概念.)  

【设计反思】  

本设计从生活中的数列模型导入,有助于发挥学生学习的主动性,增强学生学习数列的兴趣.在探索的过程中,学生通过分析、观察,归纳出等差数列定义,然后由定义导出通项公式,强化了由具体到抽象,由特殊到一般的思维过程,有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.本节课教学采用启发方法,以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径,以相互补充展开教学,总结科学合理的知识体系,形成师生之间的良性互动,提高课堂教学效率.


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