高中数学《5.5 数学归纳法》微课精讲+知识点+教案课件+习题

知识点：

一、数学归纳法定义及证明步骤

（一）定义

（二） 数学归纳法证明命题的步骤

二、数学归纳法的原理

（2）用数学归纳法证明等式问题，关键在于弄清等式两边的构成规律∶等式的两边各有多少项，由n=k到n=本+1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项，难点在于寻求n=k 时和 n=h+1 时的等式的联系.

视频教学：

练习：

1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1<< span="">n(n∈N^*，n>1)时，第一步应验证不等式(　　)

A．1＋12<2　　　　　       B．1＋12＋13<2< span="">

C．1＋12＋13<3              D．1＋12＋13＋14<3< span="">

2．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　)

A．12k＋2                     B．－12k＋2

C．12k＋1－12k＋2              D．12k＋1＋12k＋2

3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　)

A．该命题对于n>2的自然数n都成立

B．该命题对于所有的正偶数都成立

C．该命题何时成立与k取值无关

D．以上答案都不对

4．利用数学归纳法证明1＋12＋13＋14＋…＋12n－1<< span="">n(n≥2，n∈N^*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了(　　)

A．1项　   B．k项　　　C．2^k－1项　　　D．2^k项

5．对于不等式n2＋n<< span="">n＋1(n∈N^*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：

(1)当n＝1时，12＋1<1＋1< span="">，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N^*)时，不等式k2＋k<< span="">k＋1成立，当n＝k＋1时，k＋1²＋k＋1)＝

k2＋3k＋2<< span="">k²＋3k＋2＋k＋2)＝k＋2²)＝(k＋1)＋1

∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)

A．过程全部正确

B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

课件：

教案：

【教学目标】

1.了解归纳法，理解数学归纳法的原理和无穷递推的本质；掌握数学归纳法的一般步骤；初步体验 "数学归纳法"证明简单的恒等式。

    2.学生通过自主思考、自主实践、合作交流，经历知识的构建过程，体验和感悟归纳、递推、类比等数学思想，深刻领悟数学归纳法的原理。

    3.努力创设课堂愉悦的情境，激发学生学习兴趣；培养观察、分析、论证的能力，进一步发展学生的逻辑推理能力和归纳概括能力；培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维品质。

【教学重点】 数学归纳法的原理以及数学归纳法的一般步骤

【教学难点】 数学归纳法的原理以及对递推思想的理解

【教学方法】运用类比、启发探究式的教学方法

【教学技术与学习资源应用】 借助多媒体呈现多米诺骨牌游戏辅助课堂教学

【教学过程】一、创设情境，引入新知

问题1     一个盒子里共装了8支粉笔，老师从中一支一支拿出，

（1）老师拿出了5支，刚好都是白色的。于是甲同学归纳出结论：盒子中都是白粉笔；

（2）老师拿出了8支，发现都是白色的。于是乙同学归纳出结论：盒子中都是白粉笔。

思考上述两种情形的异同点？

设计说明：数学归纳法的教学是以归纳法作为知识生长点的，引例1从实际生活出发，引出归纳法的定义及其分类，易于学生理解和掌握。            

问题2    法国数学家费马观察到： ， 于是归纳猜想出：任何形如 的数都是质数，这就是著名的费马猜想。

然而半个世纪以后，善于计算的欧拉发现，第5个费马数

不是质数,从而推翻了费马的猜想。

思考：费马的推理方法。

设计说明：（1）数学不仅仅是一种工具，也是一种文化。了解数学文化，古为今用，取精用弘，从中挖掘出数学文化的内涵，提炼数学文化的价值。（2）以史为鉴，得出不完全归纳猜想的结论是必须经过严格的论证才能确认其正确合理性。

问题 3   在等差数列中，首项为，公差为，, 回忆等差数列通项公式的推导过程。

设计说明：问题3是从熟悉的数学问题引出新的问题，把以前学过的等差数列和即将要学的数学归纳法联系起来，这就是从学生熟悉的知识区域向周围散发，在最近发展区得到激发，此时最能引发学生的思考，最能激起学生探索的热情。

通过上述引例，我们可以发现：用不完全归纳法得到的结论不一定可靠，可能正确也可能错误。但是，与正整数n有关的数学命题通过一一验证的办法来加以证明又是行不通的。为了寻求一种能够证明与正整数有关的数学问题的科学方法，从而引入本节课的新课内容——数学归纳法。

二、师生互动、探求新知

1.动画演示多米诺骨牌游戏

设计说明：（1）从生活中的问题出发，容易激发学生学习的兴趣和热情；（2）“多米诺骨牌效应”以简洁的形式蕴含了数学归纳法的深刻原理，用它解释数学归纳法的原理具有很强的直观性；（3）通过实验的演示，借助具体模型增强学生的感性认识，逐步引导学生实验、反省、抽象，促使学生在实验中自主构建新知。

2. 类比“多米诺骨牌效应”的原理，证明与正整数n有关的命题的方法

设计说明：从生活实例走向抽象，将实际问题数学化。启发学生思考、类比，最终达到使学生有效地对所学方法自主构建，即：通过类比，初步探究形成数学归纳法的概念。

3. 挖掘内涵、形成概念

数学归纳法的一般步骤：

   1) 证明当取第一个值时结论正确；（递推的基础）

   2) 假设当 时结论正确, 证明当时结论也正确（递推的依据）

完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从开始的所有正整数都正确．

 引导学生对数学归纳法的一般步骤分析总结，教师加以补充：

三、数学归纳法的初步应用

完成问题 3 ：   用数学归纳法证明等差数列通项公式：

例题  用数学归纳法证明：

例题变式：概念辨析

    下面是某同学用数学归纳法证明等式的过程，你认为他的解法正确吗，为什么？

 证明：（1）当时，等式左边，右边=，所以等式成立；

            （2）假设当时等式成立，即  成立，

       那么当时， 

所以时，等式也成立。

       根据（1）、（2）可以断定，等式对任意的都成立。

设计说明：本节课的重点和难点是数学归纳法的原理，这里只做简单的应用，设计两个例题，其目的是通过两个步骤进一步理解原理，同时分步强化每个步骤，规范解题格式；例题变式的设计，是为了巩固深化学生对数学归纳法原理的理解。

四、课堂小结 

1. 归纳法

2. 数学归纳法（1）两个步骤、一个结论；                     （2）使用数学归纳法的注意点。       3. 数学思想：类比思想、递推思想、归纳思想等。

五、 布置作业

       1. (1)教材第31页练习 1、2、3、4

(2)用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式，即证明：

2.  研究性作业：简析我国古代烽火传递军情的合理性(可以上网查阅)

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