北师版九上数学第四章 图形的相似 教案(教学设计)

第四章 图形的相似

一、课标要求

1. 探索相似三角形的性质，理解相似三角形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；

2. 探索并掌握相似三角形的判定方法；

3. 能利用相似三角形的性质和判定方法解决生活中的一些实际问题。

二、教学目标

（一）知识与技能

1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。

2、对成比例线段、相似三角形的知识进行巩固提升。

（二）过程与方法

体现研究图形问题的多种方法，培养学生处理图形问题的思维发展水平，加强相关知识之间的联系和综合运用。

（三）情感与价值观要求

培养学生对问题的观察、思考、交流、类比、归纳等过程，发展学生的探索精神，合作意识，增强应用数学意识，加深对数学的人文价值的理解和认识。

教学重点：1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。

          2、掌握相似三角形的知识，并能灵活运用。

教学难点：培养学生处理图形问题的思维发展水平，加强相关知识之间的联系和综合运用。

三、教学过程

§4.1成比例线段

一、线段的比

1、已知线段AB=1.5m，线段CD=250cm,求线段AB与CD的比。

2、已知AB=30cm，CD=3m，求AB与CD的比。

3、已知A,B两地的实际距离是60km，画质地图上其距离A´B´是6cm，求这幅地图的比例尺。

4、在比例尺为1：2000的地图上测得A,B两地间的图上距离为5cm，则A,B两地间的实际距离为？

5、如图所示，已知M为线段AB上一点，AM:MB=3：5，且AB=16cm,求线段AM,MB的长度。

6、一个矩形的面积是48cm²,长与宽带比是4：3，这个矩形的长是        cm，宽是         cm.

7、若点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上，AB=15,,求线段PO的长。

二、比例线段

 1、已知线段a=3，b=8，c=6，d=4，则：（1）线段a，b，c，d是否成比例？（2）线段a、d、c、b是否成比例？

 2、已知线段a=2cm，b=3cm,c=4cm,若a、b、c、d是成比例线段，则d=           ；若x是a,c的比例中项，则            

 3、下列各组线段成比例的是（  ）

4、 已知三条线段的长度分别为2cm，3cm,4cm,请写出一条线段的长度，使它与这三条线段成比例。

5、已知1，、2三个数，请你再添上一个数，使它们能够构成比例式。

三、比例的性质

  1、已知==   求的值。

  2、已知xy=mn≠0,则把它改写成比例式后，不正确的是（ ）

      A．    B．    C．    D．

  3、已知：a：b：c=2：3：4，求：的值．

  4、已知a、b、c为△ABC的三边长，且（a-c）:(a+b):(c-b)=(-2):7:1,a+b+c=24(1)求a,b,c的值. (2)试判断△ABC的形状．

  5、已知==(xyz≠0),求的值。

 6、如图,已知△ABC中,AB=12cm,AE=6cm,EC=4cm,且AD/DB=AE/EC.1求AD的长.2.求证DB/AB=EC/AC

 7、已知a、b、c为△ABC的三边长，且,请判断△ABC的的形状。

 8、已知线段a=25cm,b=0.5m,求a与b的比值。

 9、已知四条线段a=1.5cm,b=2cm,c=2.8cm,d=2.1cm试判断它们是不是成比例线段。

10、由=，不能推出的比例式是：

A、    B、=        C、=       D、

练   习       1

1、如图,格点图中有2个三角形, 若相邻两个格点的横向距离和纵向距离都为1，则AB=BC=       ，DE=       ，EF=       ，计算=      ，=     ，我们会得到AB与DE这两条线段的比值与BC，EF这两条线段的比值    （填相等或不相等），即＝，那么这四条线段叫做      ，简称比例线段．

2、已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例？

（1）a=16 cm   b=8 cm   c=5 cm   d=10 cm;（2）a=8 cm   b=5 cm   c=6 cm   d=10 cm.

3、已知a、b、c、d是成比例线段，且a=3㎝，b=2㎝，c=6㎝，求线段d的长.

4、已知成立吗？

5、在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，矩形运动场的实际尺寸是多少？

6、已知，求是的值．

5、已知a∶b∶c=4∶3∶2,且a+3b－3c=14.（1）求a,b,c;（2）求4a－3b+c的值..

6、在△ABC中，D是BC上一点，若AB=15 cm，AC=10 cm，且BD∶DC=AB∶AC，

BD－DC=2 cm，求BC.

7、现有三个数1，，2，请你再添上一个数写出一个比例式             .

1、在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为        m．

2、某校一年级有64人，分成甲、乙、丙三队，其人数比为4：5：7.若由外校转入1人加入 乙队，则后来乙与丙的人数比为何？（    ）(A)  3：4     (B)  4：5     (C)  5：6     (D)  6：7 。

§4.2平行线分线段成比例

1、已知：如图，直线l₁∥l₂∥l₃，AB=4，BC=6，DE=3，则EF为（　　）

2、如图所示，已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是（  ）

A．    B．    C．   D．

3、如图，直线l₁∥l₂∥l_3，且l₁,l₂,l₃与另两条直线分别交于点A、B、C及点D、E、F，若AB=3,EF=2,则（  ）  A、BC:DE=1:12       B、BC:DE=2:3    C、BC:DE=3:2     D、BC*DE=6

4、如图所示，AE∥CF∥DG,AB:BC:CD=1:2:3,BF=12cm，求BE,FG的长。

5、如图，AB∥CD,AD,BC相交于点O，且OB=OC,AD=12,求OA的长。

6、已知：如图所示，AE∥GH∥CD,FG∥BC,求证AB:BF=ED:DH

7、如图，△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC．小明由此得出了以下四个结论：
（1），（2），（3），（4）AM²＝AB·AD，
其中正确的结论的个数为（　　）

二、作平行线构造线段成比例

   1、如图所示，AD平分∠BAC交BC于点D，求证：

2、如图所示，E为AC中点,点F在AB上,且AF:AB=2:5,FE与BC的延长线交于D点,求EF:ED的值。

3、如图所示，△ABC中，点D是AC上一点，点F为CB的延长线上一点，且AD=BF,DF交AB于点E.求证：DE:EF=BC:AC

练       习      2

一. 填空题：

 1. 如图，梯形ABCD，AD//BC，延长两腰交于点E，若，则。

 2. 如图，中，EF//BC，AD交EF于G，已知，则 

 3. 如图，梯形ABCD中，，且MN//PQ//AB，，则MN＝________，PQ＝________

 4. 如图，菱形ADEF，，则BE＝________

 5. 如图，，则AB与CD的位置关系是________

 6. 如图，D是BC的中点，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N，则AN:NC＝________。

二. 选择题

 1. 如图，H为平行四边形ABCD中AD边上一点，且，AC和BH交于点K，则AK:KC等于（    ）

   A. 1:2B. 1:1C. 1:3D. 2:3

 2. 如图，中，D在AB上，E在AC上，下列条件中，能判定DE//BC的是（    ）

 3. 如图，中，DE//BC，BE与CD交于点O，AO与DE、BC交于N、M，则下列式子中错误的是（    ）

三. 计算题：

 1. 如图，已知菱形BEDF内接于，点E、D、F分别在AB、AC和BC上，若，求菱形边长。

 2. 如图，已知中，，求BD的长。

 3. 如图，中，AD是角平分线，交AB于E，已知，，求DE。

 4. 在中，BD是AC边上的中线，，且AE与BD相交于点F，试说明：。

5. 如图F为平行四边形ABCD的AD延长线上一点，BF分别交CD、AC于G、E，若，求BE。

§4.3相似多边形

1. 概念

1、下列图形中相似的多边形是（　　）

A．所有的矩形       B．所有的菱形        C．所有的等腰梯形       D．所有的正方形

 2、下列各组多边形中，是相似多边形的是（  ）

正六边形         一般六边形          正方形                          菱形                       直角梯形

A、①②③        B、②③④       C、①③④       D、①②④

3、下列说法中正确的是（　D　）①在两个边数相同的多边形中，如果各对应边成比例，那么这两个多边形相似；②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形都相似；④有一个角对应相等的菱形都相似．

A. ①②  B. ②③  C. ③④  D. ②④

4、矩形ABCD长6，宽4；矩形EFGH长3.6，宽2.4相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比

二相似多边形的性质

 1、如图，梯形ABCD∽梯形A´B´C´D´，AD∥BC,∠A=120˚,∠C=75˚,AB=8cm，AD=6cm，A´B´=6cm，求A´D´的长度及梯形A´B´C´D´各角的度数。

2、如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4.(1)求AD的长；（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的形似比。

3、如图所示，一般书本的纸张是对原纸张进行多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于 （ ）

1. 综合

 1、如图，点E为矩形ABCD上的点，且AE:AB=EB:AE,四边形AEFD为正方形，请问矩形ABCD和矩形EFCB相似吗？为什么？

2、如图，四边形ABCD是平行四边形，直线EF∥CD,交BC于点E,交AD于点F,若AB＜AD,那么平行四边形ABCD与行四边形AFEB相似吗？说明理由。

3、在AB=30m，AD=20m的矩形花坛四周修筑小路．（1）如图1，如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由．（2）如图2，如果相对着的两条小路的宽均相等，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？请说明理由．

4、某出版社一位编辑在设计一本书的封面时，想把封面划分为四个矩形，其中左上角矩形与右下角矩形相似（如图所示），给人一种和谐的感觉，这样的两个相似矩形是怎样画出来的？

练      习       3

一、选择题

1.△ABC∽△A′B′C′，相似比是2∶3，那么△A′B′C′与△ABC面积的比是 (    )

A.4∶9B.9∶4        C.2∶3D.3∶2

2.将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的    (    )

A.9倍B.3倍      C.81倍D.18倍

3.在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，交AC于E，且AD∶DB=1∶2，则下列结论正确的是(    )

A. =  B. =  C. =   D. =

4.如图1，ABCD中，AE∶ED=1∶2，S_△AEF=6 cm²，则S_△CBF等于(    )

图1

A.12 cm²B.24 cm²          C.54 cm²D.15 cm²

5.下列说法中正确的是(    )

A.位似图形可以通过平移而相互得到            B.位似图形的对应边平行且相等

C.位似图形的位似中心不只有一个        D.位似中心到对应点的距离之比都相等

二、填空题

6.△ABC∽△A′B′C′，相似比是3∶4，△ABC的周长是27 cm，则△A′B′C′的周长为________.

7.两个相似多边形对应边的比为3∶2，小多边形的面积为32 cm²，那么大多边形的面积为________.

8.若两个三角形相似，且它们的最大边分别为6 cm和8 cm，它们的周长之和为35 cm，则较小的三角形的周长为________

9.在矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形BCFE，那么AD∶AB=________，相似比是________，面积比是________.

10.已知，如图2，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与________是位似图形，位似比为________；△OAB与________是位似图形，位似比为________.

图2

三、解答题

11.在比例尺为1∶50000的地图上，一块多边形地区的周长是72 cm，多边形的两个顶点A、B之间的距离是25 cm，求这个地区的实际边界长和A、B两地之间的实际距离.

12.如图3，梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于E，若S_△DCE∶S_△DCB=1∶3，求S_△DCE∶S_△ABD.

图3

13.已知：△ABC∽△A′B′C′，它们的周长之差为20，面积比为4∶1，求△ABC和△A′B′C′的周长.

14.选取一个你喜欢的图形，然后将此图形放大，使放大后的图形的面积是原图形面积的4倍.

一、请你填一填

（1）若△ABC∽△A′B′C′，AB=4，BC=5，AC=6，△A′B′C′的最大边长为15，那么它们的相似比是________,△A′B′C′的周长是________.

图4—8—1

（2）两个相似三角形的相似比为2∶3，它们周长的差是25，那么较大三角形的周长是（3）如图4—8—1，在ABCD中，延长AB到E，使BE=AB，延长CD到F，使DF=DC，EF交BC于G，交AD于H，则△BEG与△CFG的面积之比是________.

（4）把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的________倍.

二、认真选一选

(1)如图4—8—2，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（     ） A.2∶1B.∶1C.∶1D.4∶1

图4—8—2                              图4—8—3

(2)如图4—8—3，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，△ADE和四边形BCED的面积分别记为S₁、S₂，那么的值为（      ）

A.B.C.D.[

图4—8—4

(3)如图4—8—4，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S_△CAD=3S_△ABD，则AB∶AC等于（      ）

A.1∶3B.1∶4C.1∶D.1∶2

(4)顺次连结三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应高的比是（      ）

A.1∶4B.1∶3C.1∶D.1∶2

三、灵机一动！哇……某生活小区开辟了一块矩形绿草地，并画了甲、乙两张规划图，其比例尺分别为1∶200和1∶500，求这块矩形草地在甲、乙两张图纸上的面积比.

四、用数学眼光看世界

如图4—8—5，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC=12 cm，高AD=8 cm，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问这个正方形材料的边长是多少？

图4—8—5

一、1．两个多边形相似的条件是（  ）

   A．对应角相等                B．对应边相等

   C．对应角相等，对应边相等    D．对应角相等，对应边成比例

2．下列图形是相似多边形的是（  ）

   A．所有的平行四边形；B．所有的矩形    C．所有的菱形；D．所有的正方形

3．找出两类永远相似的图形_________、_________．

4．在四边形ABCD与四边形A′B′C′D′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′，且，则四边形________∽四边形________，且它们的相似比是________．

5．有一个角为120°的菱形与有一个角为________的菱形相似．

6．把一个矩形剪去一个正方形，若剩余的矩形和原矩形相似，求原矩形的长与宽的比．

二、提高训练1．下列命题正确的是（  ）

   A．有一个角对应相等的平行四边形相似    B．对应边成比例的两个平行四边形相似

   C．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似；D．有一个角对应相等的两个菱形相似

2．下列说法中正确的是（  ）

   A．相似形一定是全等形    B．不全等的图形不是相似形

   C．全等形一定是相似形    D．不相似的图形可能是全等形

3．如图所示，有三个矩形，其中是相似形的是（  ）

   A．甲和乙     B．甲和丙    C．乙和丙     D．甲、乙和丙

4．已知如图所示的两个梯形相似，求出未知的x，y，z的长和∠α，∠β的度数．:学科网ZXX

三、探索发现（每小题12分，共24分）

1．相片框（如图所示）中，内外两个矩形是否相似？

2．暑假时，康子帮母亲到鱼店去买鱼，鱼店里有一种“竹笑鱼”，个个都长得非常相似，现在根据大小有两种不同的价格，如图所示，鱼长10cm的每条100日元，鱼长18cm的每条150日元，康子不知道买哪条更好些，你看怎么办？

四、拓展创新   如图所示，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b），设S_甲，S_乙分别表示两个正方体的表面积，则，又设V_甲，V_乙分别表示这两个正方体的体积，则，下列几何体中，一定属于相似体的是（  ）

   A．两个球体      B．两个圆柱体    C．两个圆锥体    D．两个长方体

1把矩形对折后，和原来的矩形相似，那么这个矩形的长、宽之比为（  ）

   A．2：1      B．4：1      C．：1      D．：1

§4.4探索三角形相似的条件

1. 概念

1、判断下列两组三角形是否相似,并说明理由．（1）△ABC和△A′B′C′都是等边三角形；
（2）△ABC中,∠C=90°,AC=BC；△A′B′C′中,∠C′=90°,A′C′=B′C′．

2、已知，如图，点D,E分别在△ABC的边AC,AB上，△ADE∽△ABC，AD=6cm，DC=2cm，AE=4cm，EB=8cm，则△ABC与△ADE的相似比是          。

3、下列说法正确的是（ ）

 A、所有面积相等的三角形都相似          B、所有等腰三角形都相似

C、相似三角形是全等三角形              D、全等三角形是相似三角形

4、已知△ABC∽△A′B′C′且相似比为，若A´B´=6cm，则AB=     cm

5、如图，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，点D、E分别在AB、AC上，如果以A、D、E为顶点的三角形和△ABC相似，且相似比为，试求AD、AE的长

6、如图 在△ABC与△ADB中 ∠ABC=∠ADB=90° AC=5cm AB=4cm 如果图中两个直角三角形相似 求AD的长

1. 判断方法

 1、如图所示，点B,D和点C,E分别在∠A的两边上，BE⊥AB,垂足分别为点E,D,BE和CD相较于点F，问图中有哪几对相似三角形？请一一说明理由。

2、如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，点E是AC的中点，直线ED与AB的延长线相交于点F，试判断△FDB与△FAD是否相似。

3、如图，△ABC，△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形，并给予证明．。

4、如图所示，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，AF=AD，试说明；（1）△FAE∽△EBC;(2)FE⊥EC

5、如图，△ABC中，点D,E分别是AB,AC上的点，AD=3，AE=6,BD=15,CE=3,BC=15,求DE的长。

6、如图，小正方形的边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是哪一个？

     A、  B、    C 、   D 、 

7、如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．在②～⑥中，与①相似的三角形的序号是______．（把你认为正确的都填上）．

8、如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE。（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请分别说明两对三角形相似的理由。

9、如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G。

（1）写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；（2）请连接FG，如果α=45°，AB=，AF=3，求FG的长。

三、性质与判断方法的综合应用

 1、如图，四边形ABCD，DCFE，EFGH都是边长为1正方形．求∠1+∠2+∠3的度数

2、如图，等边三角形ABC的边长为3，P 为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为

1. 如图，AB∥CD,AD,BC相较于点E，过点E作EF∥AB,交BD于点F，试说明  +=

四、黄金分割

1、已知 线段AB =18cm,点C是AB的黄金分割点,且AC＞BC,求AC和BC的长

2、已知线段MN=1，在MN上有一点A，如果AN= 求证：点A是MN的黄金分割点吗？为什么？

3、已知某商标图案如图所示,是一个长为2 cm的黄金矩形,且E,F分别是长与宽 的黄金分割点（CE>BE,CF>DF）,请 判断△AEF的形状,并求出它的面积.

4、如图，点P是线段AB的黄金分割点，将AB分成m,n（m>n）两部分，以m为边长的正方形面积为S₁，以（m+n）和n为边长的矩形面积为S₂,试比较S₁与 S₂的大小。

五、动态问题

1、在△ABC中,BC=8cm,AC=6cm,点P从B出发沿BC方向以2cm/s的速度移动,点Q从C出发,沿CA方向以cm/s的速度移动,若P、Q分别从B、C同时出发,设运动的时间为t（s）,则△CPQ能否与△CBA相似?若能,求出BP的长；若不能，说明理由

2、已知：如图①，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC= 4cm，BC=3cm，点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)(0<t<2)，解答下列问题：（1）当t为何值时，QP∥BC ？（2）设AQP 的面积为y(cm²) ，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQP\\\\'C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP\\\\'C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

习           题             4

1. 下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是（  ）

2. △ABC中，∠A＝42 ^o，∠B＝118 ^o，△A`B`C`中，∠A`＝118 ^o，∠B`＝15 ^o

3. △ABC中，AB=8，AC=4, ∠A＝105 ^o，△A`B`C`中，A`B`＝16，B`C`＝8，∠A`＝100^o

4. △ABC中，AB=18，BC＝20，CA＝35，△A`B`C`中，A`B`＝36，B`C`＝40，C`A`＝70

5. △ABC和△A`B`C`中，有，∠C＝∠C`。

6. △ABC和△DEF满足下列条件，其中使△ABC和△DEF不相似的是（  ）

A．∠A＝∠D＝45 ^o 38`，∠C＝26 <sup>o</sup> 22`，∠E＝108 ^o

B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16

C．BC＝a，AC＝b，AB＝c，DE＝，EF＝，DF＝        

D．AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D＝40 ^o，

1. 如图，△ABC中∠ACB＝90^o，CD⊥AB于D。则图中能够相似的三角形共有（  ）

A．1对  B．2对  C．3对  D．4对

1. △ABC中，D是AB上一固定点。E是AC上的一个动点，若使△ABC和△ADE相似，则这样的点E有（  ）

A．1个  B．2个  C．3个  D．很多

5．下列说法①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60 ^o的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（  ）

A．②④  B．①③  C．①②④  D．②③④

6．如图，若点D为△ABC中AB边上的一点，且∠ABC＝∠ACD，AD＝3cm，AB＝4cm，则AC的长为（  ）

A．12cm   B．cm   C．cm  D．2cm 

7.据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37^oC）的黄金比值时,人体感到最舒适。这个气温约为_______ ^oC (精确到1 ^oC)。

8.如图，BD平分∠ABC，且AB＝4，BC＝6，则当BD＝_________时，△ABC∽△DBC。

9．如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB上的点，且∠ADE＝∠B，AE＝3，BE＝4，则AD·AC＝_______.

10．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，BF＝BC，那么图中与△ADE相似的三角形有___________.

11．如图，（1）若___________,则△ABC∽△AEF；（2）若∠E＝_________，则△ABC∽△AEF。

12．如图，若∠B＝∠C，则_________∽_________,理由是__________,且_________∽_________,理由是_________。

13．Rt△ABC∽Rt△A`B`C`,∠C=∠C`=90^o，若AB＝3，BC＝2，A`B`=6，则B`C`=______,A`C`=________.

14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90^o对角线BD⊥DC，试问：（1）△ABD与△DCB相似吗？请说明理由。（2）如果AD＝4，BC＝9，你能求出BD的长吗？

§4.5相似三角形判定定理的证明

1. 证明相似三角形的判定定理

2. 证明两角分别相等的两个三角形相似。已知，如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′,∠B=∠B′,

求证：△ABC∽△A′B′C′

1. 证明两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

已知：如图在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′,，求证: △ABC∽△A′B′C′

3、已知∠A=∠A′，要使△ABC∽△A′B′C′，则还应添加到条件是什么？

4、已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC．（AB＞AE）．（1）△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设=k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由

1. 证明三边成比例的两个三角形相似

已知：如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，，求证: △ABC∽△A′B′C′

5、如图所示，在直角梯形ABCD中，AD=CD，AB=CD,E是AC的中点，求证: △ABC∽△A′B′C′

1. 添加辅助线构造相似三角形

1、如图,在三角形ABC中,D为BC边的中点,延长AD至点E,延长AB交CE的延长线于点P.若AD=2DE,求证AP=3AB. 

2、如图所示，已知△ABC，延长BC至点D ，使CD=BC，取AB的中点F，连接FD交AC于点E,(1) （1）求的值；

（2）若AB=a，FB=EC，求AC的长。

3、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F，已知AB=a,BC=b,CE=c,求CF的长

4、如图所示，从平行四边形ABCD的顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为点E,F，求证AB*AE+AD*AF=AC²

综合1、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C。

（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；（2）求证：AB²=AE·AC。

2、如图,已知矩形ABCD,对角线AC、BD交于点O,点P是AD中点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,AB=3,BC=4（1）求PE+PF的值（2）当点P在AD之间移动（不与AD中点重合）,则PE+PF的值是否发生变化?若不变化,请画出图形加以说明：若变化,请说明理由

1. 如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，则DE的长是______．

4、如图,△ABC中,BC=24cm,高AD=12cm,矩形EFGH的两个顶点E、F在BC上,另两个顶点G、H分别在AC、AB上,且EF:EH=4:3,求证：(1); (2)求矩形EFGH的周长

5、如图，已知△ABC和△DEF，∠A=∠D=90°，且△ABC与△DEF不相似，问是否存在某种直线分割，使△ABC所分割成的两个三角形与△DEF所分割成的两个三角形分别对应相似？（1）如果存在，请你设计出分割方案，并给出证明；如果不存在，请简要说明理由；（2）这样的分割是唯一的吗？若还有，请再设计出一种．

§4.6利用相似三角形测高

1. 利用阳光下的影子测量旗杆的高度

 1、如图，身高1.6m的学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2.0m，BC=8.0m，则旗杆的高度是

2、某小组的同学利用旗杆测量某旗杆的高度，将一根3m高度旗杆竖立在某一位置，有一名同学站在某处并恰好通过标杆顶部看到旗杆的顶部，另外一名同学测得站立的同学离标杆4M,离旗杆的距离为20m,如果站立的同学眼睛离地面的高度为1.5m，求旗杆的高度。

3、一位同学想利用有关知识测旗杆的高度，他在某一时刻测得高为0.5m的小木棒的影长为0.3m，但当他马上测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影子CD=1.0m，又测地面部分的影长BC=3.0m，你能根据上述数据帮他测出旗杆的高度吗？

4、如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD=2米的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一直线上，如果测得BD=20米，FD=4米，EF=1.8米，则树的高度为______米

5、某同学为了测量校内旗杆高度,他把一面小镜子放在地面上某一位置，然后站到与镜子，旗杆成一条直线的地方，刚好从镜子中看到旗杆的顶部，如果这名同学的眼睛到脚的距离是1.4m，他到镜子的距离是2.1m，测得镜子到旗杆的距离为18m，求旗杆的高度

6、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（　　）

7、如图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH=5米.如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度（精确到0.1米）。

8、如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于 要解答过程

9、甲、乙两盏路灯底部间的距离是30m，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5m处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部，已知小华的身高为1.5m，那么路灯甲的高为（    ）m。

10、小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，   针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图，小明边移动边观察，   发现站到E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同。此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（总A、E、   C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.lm)

11、如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为1.5   米，在同一时刻测量杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．

12、如图所示，某同学拿着一把刻有厘米刻度的尺子，站在距电线杆30m的位置，他把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子遮住电线杆时刻度为12cm，已知他的臂长为60cm，那么电线杆的高度为（　　）

13、如图，身高为1.5 m的人站在离河边3 m处时，恰好能看到对岸岸边电线杆的全部倒影，若河岸高出水面0.75 m，电线杆的高为4.5 m，问河宽EM为多少？

14、现要测量你家所住的楼房的高度，你有射门方法？

15、在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由

习    题   6

1、在同一时间小明测得一棵树的影长是身高1.6m小华的影长4.5倍，则这棵树的高度是______．

3、张强欲测一楼房高度,他借助一个5米长的标杆对楼房进行测量,当楼房顶部,标杆顶部与他的眼睛在一条直线上是,其他人测出AB=4,AC=12,一直张强眼睛离地面1.6,请帮张强算出楼房的高

4、如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？

5、兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（　　）

6、赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图所示．他在某一时刻立1m长的标杆，并测得其影长为1.2m，此时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6m和2m，则学校旗杆的高度为________m

8、如图，学校的围墙外有一旗杆AB，甲在操场上C处直立3m高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D，与旗杆顶端B重合，量得CE=3m，乙的眼睛到地面的距离FE=1.5m；丙在C₁处也直立3m高的竹竿C₁D_l，乙从E处退后6m到E_l处，恰好看到两根竹竿和旗杆重合，且竹竿顶端D_l与旅杆顶端B也重合，测得C_lE_l=4m．求旗杆AB的高．

§4.7相似三角形的性质

一、相似三角形的性质

1、如图，△ABC中，DE∥BC,AH⊥BC于点H，AH交DE于点G，已知DE=10、BC=15,AG=12,求GH的值。

2、如图，在△ABC中，DE∥BC,AB是△ABC的角平分线，交DE于点G，DE：BC=2：3，则=      ,则GH=           ；若S_{四边形BCED}=10，则S_△ADE=          .

3、已知:△ABC∽△A\\\\'B\\\\'C\\\\',它们的周长分别为144cm和120cm,且BC=48cm,A\\\\'B\\\\'=30cm.求AB.AC.B\\\\'C\\\\'.A\\\\'C\\\\'的长.

4、如图所示，在△ABC中，已知DE∥BC，AE=3EC,S_{四边形BCED}=35，求S_△ADE

5、如图所示，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为            。

6、已知两个相似多边形对应高度比为4：5，周长之和为18cm，那么这两个多边形的周长分别是

7、如图所示，矩形ABCD的面积是72，AE=1/2DE,EF=1/2AD，那么矩形EBGF的面积是（        ）

8、如图所示，在△ABC和在△EBD中， (1)若三角形ABC与三角形EBD的周长差为60cm，求这两个三角形的周长（2）若三角形ABC与三角形EBD的面积和为812cm^2，求这两个三角形的面积

9、如图所示，在△ABC中，AB=14cm，,DE∥BC,CD⊥AB,CD=12CM,则△ADE的面积和周长各是多少？

10、 如图所示，已知五边形ABCDE，O点是五边形ABCDE内一点，A₁，B₁，C₁，D₁，E₁分别是OA，OB，OC，OD，OE上的点，且A₁B₁∥AB，B₁C₁∥BC，C₁D₁∥CD，D₁E₁∥DE，A₁E₁∥AE．若OD=2OD₁，S_{五边形ABCDE}=100cm²，求五边形A₁B₁C₁D₁E₁的面积

§4.8图形的位似

1、如图所示，指出下列各图中两个图形是否是位似图形？若是，指出位似中心

2、如图所示，过梯形ABCD的对角线的交点M作底边AB的平行线，交两腰于点P和Q，AP=2PD,指出图中位似的三角形，并分别指出位似中心和位似比。

3、下列各项中，不是位似图形的是（  ）

4、判断满足下列关系的两个三角形是否是位似图形，如果是，请指出位似中心；如果不是，请说明理由．（1）如图1，AB，CD相交于点O，且∠B＝∠D，AD＝CB；（2）如图2，AB，CD相交于点O，且∠A＝∠B

1. 位似图形的性质

1、如图，四边形ABCD和四边形A\\\\'B\\\\'C\\\\'D\\\\'位似，位似比k₁=2，四边形A\\\\'B\\\\'C\\\\'D\\\\'和四边形A\\\\'\\\\'B\\\\'\\\\'C\\\\'\\\\'D\\\\'\\\\'位似，位似比k₂=1．四边形A\\\\'\\\\'B\\\\'\\\\'C\\\\'\\\\'D\\\\'\\\\'和四边形ABCD是位似图形吗？位似比是多少？

2、如图，△ABC与△A₁B₁C₁为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A₁B₁C₁的面积是       

3、如图所示，正方形ABCD和正方形CEFG的边BC,CE在同一直线上，点G在变CD上，试判断正方形ABCD和正方形CEFG是否为位似图形。

4、如图，在水平桌面上的两个“E”，当点P₁，P₂，O在一条直线上时，在点O处用①号“E”（大“E”）测得的视力与用②号“E”（小“E”）测得的视力效果相同。（1）△P₁D₁O与△P₂D₂O相似吗？_________ 。（2）图中b₁，b₂，l₁，l₂满足怎样的关系式；（3）若b₁=3.2cm，b₂=2cm，①号“E”的测量距离l₁=8m，要使得测得的视力相同，则②号“E”的测量距离l₂应为 _________ m。

5、如图所示的小孔成像问题中，光线穿过小孔，在竖直的屏幕上形成倒立的实像．若像的长度CD=2cm，点O到AB的距离是12cm，到CD的距离是3cm，则蜡烛的高度AB为（    ）。

1. 位似图形的画法

1、（1）如图甲，在位似中心点O的异侧，作出已知四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的位似比为2：3；（2）如图乙，已知五边形ABCDE，在位似中心点O的同侧作五边形ABCDE的位似图形

A′B′C′D′E′,使五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE

平面直角坐标系中的位似变换1、如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(0,1),B(2,1),C(3,2),以原点O为位似中心，以2为相似比，作出△ABC的同向位似图形。

2、如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题（1）图形ABCD与图形A₁B₁C₁D₁关于直线MN成轴对称，请在图中画出对称轴并标注上相应字母M、N；（2）以图中O点为位似中心，将图形ABCD放大，得到放大后的图形A₂B₂C₂D₂，则图形ABCD与图形A₂B₂C₂D₂的对应边的比是多少（注：只要写出对应边的比即可）；（3）求图形A₂B₂C₂D₂的面积．

3、△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上（1）证明：△BDG≌△CEF；（2）探究：怎样在铁片上准确地画出正方形，小聪和小明各给出了一种想法，（i）小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了。设△ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长。（结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化）（ii）小明想：不求正方形的边长也能画出正方形，具体作法是：①在AB边上任取一点G′，如图作正方形G′D′E′F′；②连接BF′并延长交AC于F；③作FE∥F′E′交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G′D′交BC于D，
则四边形DEFG即为所求。你认为小明的作法正确吗？说明理由。

第四章 图形的相似测试题

1、在比例尺为1：5000的地图上，量得甲，乙两地的距离为25 cm，则甲、乙两地的实际距离是 (    )

  A. 1250千米   B. 125千米    C. 12.5千米    D. 1.25千米

2、已知，则的值是（   ）        

   A.     B.     C.     D.

3、如右图，在△ABC中，看DE∥BC，，DE＝4 cm，则BC的长为 (    )

   A．8 cm        B．12 cm

   C．11 cm        D．10 cm

4、如右图，DE是ΔABC的中位线，则ΔADE与ΔABC的面积之比是（   ）

A．1:1B．1:2C．1:3  D．1:4

5、如下图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是(     )  

6、下列结论不正确的是(     )                            

A. 所有的矩形都相似     B. 所有的正方形都相似   C. 所有的等腰直角三角形都相似   D. 所有的正八边形都相似

7、下列说法中正确的是(    )                            

A. 位似图形可以通过平移而相互得到      B. 位似图形的对应边平行且相等

C. 位似图形的位似中心不只有一个        D. 位似中心到对应点的距离之比都相等

8、如左下图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（　　）        

∠APB＝∠EPC　   B. ∠APE＝90°   C. P是BC的中点      D. BP︰BC＝2︰3

9、如右上图,Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，P是BC边上一点，作PE⊥AB于E，PD⊥AC于D，设BP＝x，则PD+PE＝（    ）

10、如图，在内有边长分别为a，b，c的三个正方形．则a、b、c满足的关系式是（   ）

二、填空题

11、在同一时刻，高为1.5m的标杆的影长为2.5m，一古塔在地面上影长为50m，那么古塔的高为　　．

12、两个相似三角形面积比是9∶25，其中一个三角形的周长为36cm，则另一个三角形的周长是　　．

13、如左下图，在△ABC中，AB＝5，D、E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE＝∠B，DE＝2，

那么AD·BC＝        .              

14、如右上图，在△ABC和△DEF中，G、H分别是边BC和EF的中点，已知AB＝2DE，AC＝2DF，∠BAC＝∠EDF.  那么AG：DH＝        ，△ABC与△DEF的面积比是        .      

15、把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，边长应缩小到原来的____倍.

16、如左下图在Rt△ABC中, ∠ACB＝90°,CD⊥AB于D，若AD＝1，BD＝4，则CD＝       .    

17、如右上图，一人拿着一支厘米小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上12厘米的长度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，则电线杆的高为       .      

18、已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是20 cm，则它的宽为_____cm.（结果保留根号）

19、顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD是三角形ABC的角平分线，那么AD＝       .        

20、如图，点在射线上，点在射线上，且，．若、的面积分别为1、4，则图中三个阴影三角形面积之和为      ．

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三、解答题

21、如图，已知点E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F，求证△ABF∽△EAD．

22、如图27－106所示，已知E为ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE交AC于O，交AD于F．

求证BO²＝OF·OE．

23、如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12 cm，OB=6 cm，点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用（单位：秒）表示移动的时间（），那么：（1）当为何值时， △POQ与△AOB相似？（2）设△POQ的面积为，求关于的函数解析式。

24、一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些坑道对河道的影响，如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：①先测出沙坑坑沿的圆周长34.54米；②甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自经测量：AB=1.2米，BC=1.6米

  根据以上测量数据，求“圆锥形坑”的深度（圆锥的高），（π取3.14，结果精确到0.1米）

己所处的位置，当他位于B时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点A看到坑底S（甲同学的视线起点C与点A、点S三点共线）

25、如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）

（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．

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