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北师大版八上数学2.3 立方根 知识精讲

全册精讲+→ 班班通教学系统 2022-04-10

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期末复习精讲

1.1 探索勾股定理

1.2 一定是直角三角形吗

1.3. 勾股定理的应用

2.1 认识无理数

2.2 平方根 知识精讲

知识点总结

1.立方根的性质:

正数的立方根是正数;负数的立方根是负数;0的立方根是0.

2.平方根等于它本身的数是0,算术平方根等于它本身的数是0和1,立方根等于它本身的数是0、1、-1.(倒数等于它本身的数是1和-1)


 知识要领:如果一个数x的立方等于a,即x的三次方等于a(x^3=a),即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。

  立方根

  读作“三次根号a”其中,a叫做被开方数,3叫做根指数。(a等于所有数,包括0)如果被开方数还有指数,那么这个指数(必须是三能约去的)还可以和三次根号约去。

  求一个数a的立方根的运算叫做开立方。

  立方根的性质:

  ⑴正数的立方根是正数.⑵负数的立方根是负数.⑶0的立方根是0.一般地,如果一个数X的立方等于 a,那么这个数X就叫做a的立方根(cube root,也叫做三次方根)。如2是8的立方根,-3分之2是-27分之8的立方根,0是0的立方根。

  立方和开立方运算,互为逆运算。

  互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。

  负数不能开平方,但能开立方。

  立方根如何与其他数作比较?  ⑴做这两个数的立方

  ⑵作差

  ⑶比较被开方数(如三次根号3大于三次根号2)

  任何数(正数、负数、或零)的立方根如果存在的话,必定只有一个.

平方根与立方根的区别与联系

  一、 区别

  ⑴根指数不同:平方根的根指数为2,且可以省略不写;立方根的根指数为3,且不能省略不写。

  ⑵ 被开方的取值范围不同:平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以为任何数。

  ⑶ 结果不同:平方根的结果除0之外,有两个互为相反的结果;立方根的结果只有一个。

  二、 连系

  二者都是与乘方运算互为逆运算

  知识点一:

  平方根的概念:若x2=a(a≥0),则x叫做a的平方根,记作x=±,求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.开平方与平方互为逆运算.

  知识点二:

  算术平方根的概念:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记作,0的算术平方根是0.

  例2若a<0,则a2的算术平方根是( ).

  A.-a B.a C.±a D. ±

  解:当a<0时,

  =|a|=-a,故选择A.

  例3一个数的算术平方根是a,则比这个数大5的数是( ).

  A.a+5 B.a-5 C. a2+5 D. a2-5

  解:一个数的算术平方根是a,则这个数是a2,故比这个数大5的数是a2+5,从而选择C.

  知识点三:

  平方根及算术平方根的性质:1.正数有两个平方根,它们互为相反数;2. 0的平方根是0;3.负数没有平方根;4.一个非负数的算术平方根是非负数,即a≥0.

  例4若m的平方根是2a-3和a-12,求m的值.

  解:由正数有两个平方根,它们互为相反数知,(2a-3)+(a-12)=0,解得a=5,所以m=(2a-3)2=72=49.

  例5若2a-3和a-12是m的平方根,求的值.

  解析:本例与例4貌似一样,其实不然.因为"若m的平方根是2a-3和a-12",得知2a-3和a-12互为相反数,而"若2a-3和a-12是m的平方根",可得知2a-3和a-12相等或互为相反数.(1)当2a-3=a-12时, a= -9.所以2a-3=-18-3=-21,所以m=(-21)2=441.(2)当(2a-3)+(a-12)=0时, a=5,所以2a-3=10-3=7,所以m=72.故m=441或=49.

  知识点四:

  立方根的概念及性质: 若x3=a,则x叫做a的立方根,记作x=.0的立方根是0,任何实数都有立方根,并且只有一个,同时立方根的符号与其本身符号相同.

  知识点五:

  利用计算器求平方根、立方根等.

知识点汇总

1


基本概念


5.立方根与平方根的相同点:

都是建立在乘方概念的基础上,都是求底数。


今日练习

1

1.求下列各数的立方根:

(1)-27

(2) 

(3)

(4)0.216

(5)-5


【参考答案】

(1)因为(-3)3=-27,所以-27的立方根是-3,即³√-27=-3;


(2)因为,所以的立方根是,即


(3)因为,所以的立方根是,即


(4)因为,所以0.216的立方根是0.6,即


(5)-5的立方根是.


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