北师大版九上数学1.2 矩形的性质与判定 知识点精讲

1.1 菱形的性质与判定

全册教案(教学设计)

知识点总结

矩形的性质与判定

※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）

※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都是直角的四边形是矩形。

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

1. 矩形的四个角都是直角。

2. 矩形的对角线相等。

   
   

如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AD=4,∠AOD=60°,求AB的长。

【分析】

先证明OA=OD，于是可证明△AOD为等边三角形，求出DO，进而求出BD，根据勾股定理求得AB的长．

【解答】

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，OA=1/2AC，OD=1/2BD,

∴OA=OD

∵∠AOD=60°

∴△AOD为等边三角形

∴DO=AD=4

∴BD=8

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB=90°，△DAB为直角三角形，

∴AB²=BD²-AD²=8²-4²=48

∴AB=。

如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为           。

【分析】

分析题意，知道P、Q分别为AO、AD的中点，则可知PQ是△AOD的中位线；结合中位线的性质可知PQ=1/2OD，故只要求出OD的长即可；已知矩形的一条对角线长，则可得出BD的长，进而得出OD的长，至此问题便可得解.

【解答】

∵四边形ABCD是矩形，

∴BD=AC=10，

∴OD=5.

∵P，Q是AO、AD的中点，

∴PQ是△AOD的中位线，

∴PQ=1/2OD=2.5。

如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB，∠OAD=25°，则∠ODC=       .

1.直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半。

2.矩形的对边相等。

3.矩形的对角线互相平分。

如图,BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM的周长是(      )

A. 21     B. 18     C. 13     D. 15

【分析】

根据“BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点”得到FM=EM=1/2BC，所以△EFM的周长便不难求出。

【解答】

∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，

∴在Rt△BCE中,EM=1/2BC=4，

在Rt△BCF中,FM=1/2BC=4，

∴△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13.

故选C.

如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=6,AD=8,则四边形ABOM的周长是()

A. 14      B. 19     C. 18     D. 16

【分析】

根据矩形的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线性质求出BO、OM、AM即可解决问。

【解答】

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=8,AB=CD=6,∠ABC=90∘，

∴AC²=AB²+BC²=100                      

∴AC=10,

∵AO=OC，

∴BO=1/2AC=5，

∵M为AD的中点，

∴AM=1/2AD=4

∵M为AD中点，O为AC中点，

∴OM为△ACD中点，

∴OM=1/2CD=3，

∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM=6+5+3+4=18.

故选：C.

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，若∠C=55°，则∠ABD=    。

习题精析

如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于一点O，OF⊥AD，AE⊥BD，且BE：ED=1：3．若AC=2cm，则OF=   cm，AE=   cm．

知识归纳

图文导学

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