北师大版九年级数学上册全册教案(教学设计)
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第六章 反比例函数
6.1 反比例函数
教学目标：
1．从现实情境和已有的知识经验出发，理解两个变量之间的相依关系，加深对函数概念的理解。
2．经历抽象反比例函数概念的进程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数解析式，体会函数的模型思想。
教学重点：理解和领会反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式。
教学难点：例1涉及科学学科知识，学生理解问题时有一定的困难。
教材分析：函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出的数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型。在前面已学习过“变化之间的关系”和“一次函数”等内容，对函数已经有了初步的认识，在此基础上讨论反比例函数可以进一步领悟函数的概念，为后续学习产生积极的影响。教材以有趣的数学生活实例，让学生通过讨论合作的方式，理解反比例函数的概念，培养学生函数的数学思想，为学生能更好地“用数学”打下基础。关键信息： 1、关注学生的学习过程，让学生经历抽象反比例函数概念的过程。 2、数学来源于生活，又服务于生活，引导学生将所学的知识用于生活中，培养学生运用数学解决实际问题的能力。 3、学生分小组探究结论，培养学生的团队精神，合作意识，同时让学生自己叙述探究的结果，提高学生的表达能力，从而提高其学习的积极性。
学情分析：学生的年龄特点和认知特点 此阶段学生有比较强烈的自我发展意识。本节课让学生在做中探索，在做中感悟，在做中收获，老师可以尽可能的让学生在这些活动中表现自我，发展自我，从而感受数学的丰富多样，让学生尽情的去做探索者，研究者，挑战自己，展示自己。本节课通过对具体情景的分析，概括出反比例函数的概念。通过例题和举例可以丰富对函数的认识，理解反比例函数的意义。
教学过程设计：
一、复习导入：
1.矩形的长为6，宽y和面积x之间的关系为_________________.
2.矩形的面积为6，一边长y和另一边长x之间的关系为________________.
在小学里我们已经学过，如果两个变量的积是一个不为零的常数，我们就说这两个变量成反比例.（通过复习正比例函数，类比着学习反比例函数，揭示课题，板书课题：6.1反比例函数（1））
二、新课教学：
（一）、思考并回答下面的问题：
1.北京到杭州的铁路线长为1661km.一列火车从北京开往杭州，记火车全程的行驶时间为x(h),火车行驶的平均速度为y(km/h),请填写下表。
问：y与x成什么比例关系？
能用一个数学解析式表示吗？
2.学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场．设它的一边长为x（米），则另一边的长y（米）与x的函数关系式为______．
上述函数表达式都具有什么特点？
归纳：我们把函数
这里x是自变量，y是x 的函数，k叫做比例系数。
注意：
（二）、巩固练习
1、 说一说：你能举出生活中反比例函数的例子吗？（同桌互相各举一例，并写出自己所举例子的反比例函数解析式）
2、练习1：辩一辩
下列函数中,y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？
练习2：（课本P138课内练习2）
2.设面积为10cm²的三角形的一条边长为 (cm),这条边上的高线长为h(cm).
(1)求h关于 的函数表达式和自变量 的取值范围.
(2)h关于 的函数是不是反比例函数？如果是，说出它的比例系数.
(3)求当边长 =2.5cm时，这条边上的高线长.
（三）、例题教学
如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm.设动力为y(N),动力臂长为x(cm)(图中杠杆本身所受重力略去不计.杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂).
(1) 求y关于x的函数表达式.这个函数是反比例函数吗？如果是，说出比例系数；
(2) 求当x=50时，函数y的值，并说明这个值的实际意义；
(3) 利用y关于x的函数表达式，说明当动力臂长扩大到原来的n(n＞1)倍时，所需动力将怎样变化？
想一想：利用y关于x的函数解析式，说明当动力臂长缩小到原来的
（四）、拓展提升
1、已知变量x,y满足关系式：
问x,y是否成反比例？请说明理由.(课本P139 B组6)
2、已知函数
它是正比例函数；当m= 时，它是反比例函数．
三、课堂小结：
本节课我们学习了反比例函数的定义,并归纳总结出反比例函数的表达式。
知识点：
思想方法：（1）从特殊到一般；
（2）数形结合；
（3）分类讨论。
四、作业布置：
1、基础作业：作业本《6.1反比例函数（1）》 ；
2、预习作业：预习书本《6.1反比例函数（2）》 ；
3、收集整理生活中具有反比例函数应用的实例。
板书设计：6.1反比例函数
2.反比例函数的图象与性质
一、教学目标
（一）知识目标：
1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象.
2.体会函数的三种表示方法的互相转换.对函数进行认识上的整合.
3.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.
（二）能力训练目标
通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；通过观察图象，概括反比例函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力.
（三）情感与价值观目标
让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲.
二、教学重点：画反比例函数的图象；并从函数图象中获取信息，探索并研究反比例函数的主要性质.
三、教学难点：反比例函数的图象特点及性质的探究.
四、教学方法：引导发现法、讨论法.
五、教具准备：多媒体课件
七、教学过程：
（一）复习引入：
上一节课我们学了什么是反比例函数，那么什么是反比例函数？
我们今天继续共同研究反比例函数，看看今天要学什么？
第一环节-----读
同学们，打开课本第152页，看到153页，大家先独立阅读，看看今天你能发现的什么学习内容，现在开始。”
目的：让学生自己发现学习知识点，让学习成为一种寻宝游戏。
第二环节-----议
1.前后同桌交流，讨论你在课本中发现了那些知识点。
2.教师巡视倾听，参与交流。
3.共同交流，每组派代表发言发现了什么，同意的不在发言，不同意的继续辩论。师生交流，老师答疑解惑。
画出反比例函数的图象基本步骤.
(1)列表：
x | -8 | -4 | -3 | -2 | -1 | - | 1 | 2 | 3 | 4 | 8 | |
y= | - | -1 | - | -2 | -4 | -8 | 8 | 4 | 2 | 1 |
(2)描点：（图5-1） (3)连线：（图5-2）
观察讨论：1、反比例函数图象是什么形状？
2、画反比例函数图象应该注意的问题是 什么？
总结归纳：
(1)
(2)用光滑的曲线连接各点
(3)图象是延伸的，不要画成有明确端点。
(4)曲线的发展趋势是无限靠近坐标轴,但不和坐标轴相交
第三环节-----做
画反比例函数
做在小纸片上，做完后交，看谁做得又对又快，老师检查，对于典型的要在展台上展示。
第四环节-------评. 看谁做的又对最好.
第五环节-----论
观察
1．自己观察图象找出相同点和不同点。
2．小组展开讨论反比例函数
3．引导总结。
结论：
图象分别都是由两支曲线组成，因此称反比例函数的图象为双曲线.
反比例函数的图象由k决定.
当k>0时,两支双曲线分别位于一,三象限内;
当k<0时,两支双曲线分别位于二,四象限内.
第六环节-----练
基础训练
1.已知y=
2. 反比例函数
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
挑战自我 能力提升
问题：
1、反比例函数图象是中心对称图形吗？若是的话，请找出对称中心.
2、反比例函数图象是轴对称图形吗？若是的话，你能试着说明它的对称轴是什么吗？
教师可以引导学生从两支曲线上对称的点出发，来发现图形的对称关系。
目的：本环节设置的目的让学生能够从图形的角度来研究反比例函数的图象，再次体现数形结合的思想.
分层达标 课后延伸
A层
1、
2、写出一个图象分布在二、四象限内的反比例函数解析式
B层
1、已知函数
2、与成反比，且当＝6时，
布置作业
A层：如图，当x＜0时，下列图象中，有可能表示y=－
B层 ：
1、已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且当x=2与x=3时，y的值都等于19.y与x间的系数关系式，并求x＝4时y的值.
2、习题6.2 联系拓展
附：板书设计
反比例函数的图象与性质
反比例函数
反比例函数
6.3 反比例函数的应用
1．经历分析实际问题中两个变量之间的关系、建立反比例函数模型，进而解决问题的过程，进一步体会模型思想，发展应用意识．
2．能用反比例函数解决简单实际问题，进一步体会数形结合的思想．(重点)
阅读教材P158～159，完成下列内容：
(一)知识探究
反比例函数表达式的求法：设出反比例函数的表达式________，把反比例函数图象上的一个点的坐标代入，得关于k的方程，解方程求出k值，把k的值代入，即得反比例函数的表达式．
(二)自学反馈
1．长方形地下室的体积V一定，那么底面积S与深度h是________关系；表达式是________．
2．运货物的路程s一定，那么运货物的速度v与时间t是________关系；表达式是________．
3．电学知识告诉我们，用电器的输出功率P、两端的电压U和电器的电阻R有如下关系：PR＝U2.这个关系式还可以写成P＝________，或R＝________.
活动1 小组讨论
例1 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N，那么
(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？
(2)当木板面积为0.2 m2时，压强是多少？
(3)如果要求压强不超过6 000 Pa，木板面积至少要多大？
(4)在直角坐标系中，画出相应的函数图象．
(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴交流．
解：(1)p＝
(2)p＝3 000 Pa.
(3)至少0.1 m2.
(4)提示：只需在第一象限作出函数的图象．因为S>0.
(5)问题(2)：已知图象上的某点的横坐标为0.2，求该点的纵坐标；问题(3)：已知图象上点的纵坐标不大于6 000，求这些点所处的位置及它们横坐标的取值范围．实际上这些点都在直线p＝6 000下方的图象上．
例2 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示．
(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10 A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
解：(1)因为电流I与电压U之间的关系式为IR＝U(U为定值)，把图象上的点A的坐标(9，4)代入，得U＝36.
所以蓄电池的电压U＝36 V．这一函数的表达式为I＝
(2)当I≤10 A时，解得R≥3.6.所以可变电阻应不小于3.6 Ω.
例3 如图，正比例函数y＝k1x的图象和反比例函数y＝
(1)分别写出这两个函数的表达式；
(2)你能求出点B的坐标吗？你是怎样求出的？
解：(1)y1＝2x，y2＝
(2)点B的坐标为(－
活动2 跟踪训练
1．某乡粮食总产量为a(a为常数)吨，设该乡平均每人占有粮食为y(吨)，人口数为x，则y与x之间的函数关系的图象应为下图的( )
2．某工厂现有煤200吨，这些煤能烧的天数y与平均每天烧煤的吨数x之间的函数关系式是y＝________.
3．一定质量的二氧化碳，其体积V(m3)是密度ρ(kg/m3)的反比例函数，请根据图中的已知条件，写出当ρ＝1.1 kg/m3时，二氧化碳的体积V＝________m3.
4．如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象．
(1)请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；
(2)写出此函数的表达式；
(3)若要6 h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？
活动3 课堂小结
学生试述：今天学到了什么？
【预习导学】
(一)知识探究
y＝
(二)自学反馈
1．反比例
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．D 2.
综合与实践
制作视力表
学生起点分析
“制作视力表” 是学生充分学习图形相似内容，引入的一节课题学习，学生此前已完成“图形相似”与“图形位似”的学习，“线段的比”也相当的熟悉，在这样的基础上研究制作视力表，可以加深学生对知识的理解及综合运用；“视力表”是学生熟知的生活实例，引导学生观察、分析生活现实和数学现实的相似现象，探究发现视力表的制作原理，激发学生研究应用数学知识的乐趣。
教学任务分析
课题学习“制作视力表”以探究视力表中蕴含的数学知识，体会视力表的制作原理，进一步发展学生综合运用数学知识分析问题，解决问题的能力；借助“制作视力表”进一步理解相似图形及其相似比、位似图形、位似比等有关内容。借助视力表为载体，帮助学生感受图形的相似；提高学生把握事物内在规律的能力；体验数形结合的思想.教学时培养学生言之有据的习惯，发展学生正确使用数学语言进行表达和交流的能力，同时要鼓励学生在探索的过程中多角度尝试，不要以教师的讲解代替学生的思考、讨论；可以组建四人活动小组合作学习，促成学生以良好的情感态度主动参与合作交流；引导学生在独立思考的基础上与同伴进行合作交流；
教学目标
1、探究视力表中蕴含的数学知识，体会视力表的制作原理，进一步发展学生综合运用数学知识分析问题，解决问题的能力；
2、通过度量”E”的长、宽及空白缺口宽，培养大家的动手能力，对所测量的数据进行探索它们之间的关系，训练学生的探索能力．
3、通过探索视力表中的奥秘，让学生感受到数学活动充满着探索与创造，同时让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情景,导入课题；第二环节：探究新知；第三环节：课堂练习；第四环节：深入探究，得出结论；第五环节：运用结论，制作视力表；第六环节：课堂总结；第七环节：布置作业。
课前准备工作：准备三角板、视力表、硬纸板数张。
第一环节：创设情景，导入课题
［师］视力表对我们来说并不陌生．但你想过吗？视力表中蕴含着一定数学知识．你知道是什么知识吗？本节课我们就来探索其中蕴含的奥秘．
第二环节：探究新知
［师］现在我们查视力时用的视力表，通常是哪一种呢？
［生］是由一组字母”E”组成的视力表．
［师］对，它是以能分辨”E”的开口朝向为依据来测定视力的．换句话说，它的测试依据是能否看清楚”E”的两个空白缺口（如下图1中AB、CD两个缺口）．
图1
下面我们以“标准对数视力表”为例，探索视力表中的奥秘：
1、度量视力表中视力为0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.8，1.0，1.2，1.5，2.0所对应的”E”的长a，宽b，空白缺口宽d，（如图2）．
投影片（课题学习A）
图2
请大家量视力表中的各个”E”，并填写课本上的表格．
［生］填表如下：（投影片 课题学习B）
2、观察数学完成以下问题串。
（1）观察上表你直观的发现了什么？
（2）观察上表，看这些数据之间有什么关系，从而决定视力表中的各”E”形图之间有什么关系？视力表中的各“E”图形之间有什么关系？
［生］视力为0.1时，a=72 mm, b=72 mm, d=15 mm,可知”E”的长和宽相等．
视力为0.2时，a=36 mm, b=36 mm, d=7.5 mm,可知”E”的长和宽相等，且
视力为0.3时，a=24 mm, b=24 mm, d=5 mm,可知”E”的长和宽相等，并且
视力为0.4时，a=18 mm, b=18 mm, d=3.8 mm,可知”E”的长和宽相等，且
由此可知：视力表中的各”E”形图都是长与宽相等的图形，如果把视力为0.1时的”E”形图作为基本图形，则视力为0.2，0.3…2.0时的”E”形图都与基本图形是相似图形．
活动目的：通过组织学生自我实际度量，并将各自的度量结果填在表格中，让学生在实际操作中，就去直觉的感知其中的奥秘，再通过小组的合作探究，发现a，b，d数学之间的关系，从而得知“标准对数视力表”中不同的视力所对应的”E”形图都与基本图形是相似图形,从而所有“E”形图都是相似图形。
活动效果：本环节教师稍加引导，学生很快就可以发现规律，此处不是难点。学生能根据所学知识“对应边成比例，对应角相等的图形是相似图形”，再加上“E”恰好都近似于“正方形”。很容易就判断图形相似特点。
第三环节：课堂练习
若一个视力表中的视力为0.1的”E”的长、宽都为60 mm,空白缺口宽为12.5 mm，求视力为0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.8，1.0，1.2，1.5，2.0时”E”的长、宽，空白缺口宽．
活动目的：此环节目的在于及时反馈新课知识，学生活学活用，加深巩固，为后续做好铺垫。
活动效果：巩固效果，相当好。最好还是设置一个表格，让学生在表格上填写，然后上黑板讲解展示。
第三环节：深入研究，得出结论
我们已经对视力表中的各个”E”型字母的长a，宽b，空白缺口宽d作了一番研究，并已得出它们之间的关系．接下来我们继续研究视力表，并能根据研究结果自己制作一个视力表．
［师］请大家按下列步骤进行操作
1．用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2，0.3，0.5，1.0所对应的”E”，并依次编号为①②③④⑤．
取编号为①②的两个”E”，按下图的方式把它们放置在水平桌面上．
投影片（课题学习C）
图4
2．如图5，将②号”E”沿水平桌面向右移动，直至从右侧点O看去，点P1，P2，O在一条直线上为止．这时我们说，在D1处用①号”E”测得的视力与在D2处用②号”E”测得的视力相同．投影片（课题学习D）
图5
［师］从上图中你发现了什么？与同伴交流．
［生］因为①号”E”与②号”E”都水平放置在桌面上，它们与桌面的边缘是垂直的．因此P1A1∥P2A2,又P1，P2，O在一条直线上，所以∠O为公共角，根据相似三角形的判定方法，两角对应相等的两个三角形相似，得
［师］从大家的分析中可知，当人离①号”E”的水平距离l1与人离②号”E”的水平距离l2满足
3．按照上述方式，将①~⑤各个”E”排列成下图所示的样子．先自己猜想应得出的结论，然后和同学交流，证明你的结论的正确与否．
投影片（课题学习E）
图6
［生］按照上面大家讨论的结果，可以猜想得出，在D1处用①号”E”测得的视力，与在D2处用②号”E”测得的视力，在D3处用③号”E”测得的视力，在D4处用④号”E”测得的视力，在D5处用⑤号”E”测得的视力都相同．
经过论证实了结论的正确性．
［师］大家做得非常棒．
根据刚才大家讨论出的结论，我们可以据此自己制作视力表．
活动目的：通过复制制作“E”，探究图形间的规律，让学生在实际操作过程中，发现了图形间隐含的规律，从而得出结论，加以运用。
活动效果：本环节关键点比较多，测量工作比较大，计算量比较大，需要小组合作才能完成，允许学生带计算器，否则一节课无法结束这么多的内容。
第四环节：运用结论，制作视力表
制作一个测试距离为3 m的视力表．
1．由标准视力表中的b1=72 mm, l1为5 m, 可计算出l2=3 m时，b2的值
得
∴b2=43.2mm
所以应制作一个”E”型图，使得它的长与宽都是43.2mm．
从上节课我们的讨论结果看，视力为0.1的”E”型图与视力为0.2的”E”型图中的a，b，d间的关系，我们可以得出测试距离为3m的视力表中的①号”E”型图中的d为9 mm．
2．确定了①号”E”型图后，我们就可以根据规律分别求出视力为0.2，0.3…2.0时的”E”型图的大小．如下图．
3．由标准视力表中的各行”E”间的距离，相应地确定本视力表的行距．
测试距离为3 m的视力表就制作完成了．
第五环节：课堂总结
1、本节课我们自己动手，探索出视力不同的”E”形图之间的关系．
2、探究发现了如何找视力相同的图形”E”的大小和它的落脚点，并能据此自己制作视力表．
第六环节：课后作业
1、到有关单位进行调查，目前较为通用的视力表有哪几种？
2、制作一个测试距离为8 m的视力表．
教学反思：
1、本节课的目的是通过制作视力表，让学生探究视力表中蕴含的数学奥秘。主要采用“小组合作探究”方式进行教学，在教学过程中，发现同学间的合作决定了课堂进程的快慢。
2、教学过程中，建议运用填写表格法，解决规律探究问题。因为表格可以在有限的空间放置大量的数据，而大量的数学进而可以让学生感知其中隐含的规律。
3、授课过程中允许运用计算器，计算器可以减轻计算带来的工作量，压缩时间放在探究规律上，从而一课时完成课题研究的内容。
教学设计说明：课题学习“制作视力表”两个课时最好，但这里写成一个课时设计，主要考虑到各个地区、学校的学生实际学习水平不同，教师可以有针对性的进行讲授，对于一般学生可能很难在一课时完成学习任务，那就在“深入探究”作为第二课时的教学任务是进一步解决和完善；或者把第一课时内容作为预习探究布置给学生，因为这部分内容相对简单，学生稍加思考便可解决。总之结合学生特点，调整课时量。
综合与实践 猜想、证明与拓广
教学目标：
1、 经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验；
2、 在解决问题的过程中综合运用所学知识，体会数学知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识。提高用数形结合的方法从不同角度思考问题的能力。
3、 在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力；
教学重点：在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法；
教学难点：形成对数的整体性认识，提高用数形结合的方法从不同角度思考问题的能；
教学过程：
一、学前准备
1、认真阅读课本，回答下列问题：
1、已知正方形的边长是2，则它的周长为 ，面积为 ；
另一个正方形，它的周长是正方形的2倍，则它的面积为 ；
问题：正方形的周长和面积可以同时是正方形的2倍吗？
2、已知正方形的边长是，则它的周长为 ，面积为 ；
另一个正方形，它的周长是正方形的2倍，则它的面积为 ；
问题：正方形的周长和面积可以同时是正方形的2倍吗？
3、任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？再找几组数据试一试。
结论：
_______________________________________________________________
二、合作、探究
问题1、任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？
⑴假设已知矩形的长和宽分别为2和1，则它的周长为 ，面积为
设矩形的长和宽分别为和,则可以列方程得：
结论：
______________________________________________________________
⑵当已知矩形的长和宽分别为３和１时，是否还有相同的结论？当已知矩形的长和宽分别为４和１，５和１，…，n和１时，上面结论是否依然成立？请填写下表：
给定已知矩形 | 另一个矩形 | 是否存在？ | ||||
长 | 宽 | 周长 | 面积 | 长 | 宽 | |
3 | 1 | |||||
4 | 1 | |||||
5 | 1 | |||||
6 | 1 | |||||
…… | …… | …… | …… | …… | …… | …… |
n | 1 |
⑶上面结论对于任意给定的一个矩形都成立吗？你能证明它的一般性吗？
设原已知矩形两边长分别为
问题2、任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
⑴如果已知矩形的长和宽分别为２和１，结论会怎样呢？与同伴进行交流。
⑵如果已知矩形的长和宽分别为６和１，结论会怎样呢？与同伴进行交流。
⑶议一议：当矩形满足什么条件时，才存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
三、本课小结：
在实验的过程中，你还有新的发现吗？你还能提出什么问题？总结一下你的收获。
1、你觉得数学是怎样研究问题、发现规律（结论）的？
2、在实验的过程中，你还有新的发现吗？
四、课后拓广
⑴ 任意给定一个正三角形，是否存在另一个正三角形，它的周长和面积分别是已知正三角形周长和面积的2倍？
⑵ 任意给定一个正三角形，是否存在另一个正三角形，它的周长和面积分别是已知正三角形周长和面积的一半？
⑶ 任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的3倍？
⑷ 任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的？
综合与实践
池塘里有多少条鱼？
一、学生知识状况分析
学生通过前面的学习，已经掌握了运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率，还有一些纯粹的现实问题，无法应用树状图和列表法计算得到概率，需要借助试验模拟获得估计值；这些为解决本节课实际问题奠定了知识基础。另外九年级的学生思维很活跃，正在从形象思维向逻辑思维过渡，能够从具体事例中归纳出问题的本质.他们有强烈的应用新知发展自己的意识，这些都为解决本节课的实际问题奠定了基础.
二、教学任务分析
根据课标的要求、学生的认知水平及本节课的内容，本节课的教学目标为：
知识目标：
1.进一步体会概率与统计之间的联系以及用样本去估计总体的统计思想.
2.初步感受统计推断的合理性.
过程与方法目标：
经历对问题的探索过程，使学生对问题由感性认识上升到理性认识.
情感与态度目标：
初步认识数学和人类生活的密切联系，形成解决问题的一些基本策略，体会解决问题基本策略的多样性.体验数学活动充满着探索与创造，提高数学的应用意识.
教学重点：
1.结合具体情境，初步感受统计推断的合理性.
2.进一步体会概率与统计之间的关系.
教学难点：结合具体情境，初步感受统计推断的合理性
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设问题情景，引入新课；第二环节：寻找方向；第三环节：唤醒认知；第四环节：尝试迁移；第五环节：形成经验；第六环节：发展经验；第七环节：理解经验；第八环节：迁移经验；第九环节：提升经验；第十环节：运用经验，解决问题；第十一环节：活学活用，发展思维；第十二环节：拓展理解；第十三环节：归纳总结。
第一环节：创设问题情景，引入新课
活动内容：提出生活中的问题，李大爷承包池塘今年的收成如何？
活动目的：从真实的事件入手直接进入本节课的主题。引导学生从生活中发现问题、思考问题.使学生意识到数学知识来源于生活实际，创设问题情景激发兴趣，为本节课的学习做好情感热身.
活动过程：生活中的数学
教师提出问题：李大爷承包了村里的池塘，辛苦了一年李大爷家今年的收成如何？你能帮助李大爷估计池塘中有多少条鱼吗？
有学生认为，把池塘里的鱼全部捞出，就可以知道了.也有学生反对，因为如果全部捞出鱼会死，再说也不好知道池塘里的鱼是否全部捞出.
教师接着提问：能不能不把池塘里的鱼全部捞出就可以估计李大爷承包池塘中有多少条鱼呢？
活动的实际效果既注意事项：
课堂问题的提出应简练不要拖泥带水，问题的提出要紧跟本节课的内容，引起学生对本节课的学习兴趣.
第二环节：寻找方向
活动内容：1.大家解决过类似的实际问题吗？
2.你能用代数或几何的方法估计池塘里有多少条鱼吗？
3.在统计与概率领域，你解决过哪些实际问题？怎样解决的？
活动目的：对于这样一个比较大的问题，学生可能无处下手，通过问题的设置，引导学生一步步的靠近解决问题的方法。
第三环节：唤醒认知
活动内容：教师引导学生回忆本章中的求概率的方法
活动目的：学生通过回忆所学的知识，寻求解决问题的办法。
第四环节：尝试迁移
活动内容： 布袋里有黑色白色两种棋子，其中白色棋子有20粒，如何估计布袋有多少粒棋子？ 你有哪些方法？
活动目的：从一个简单的棋子游戏入手，为学生探究提供教学辅助，此时学生求李大爷的池塘里有多少条鱼的问题的解决可能存在各种不同的方法，应充分让每一个学生体会经历探讨与比较的过程.
应用类比的数学方法得出简洁合理的方法估计李大爷承包的池塘中有多少条鱼.
活动过程：首先，简化“鱼塘”问题，从一个简单的棋子游戏开始，对问题进行探究
第一种方案：
从口袋中随机摸出一个棋子，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程，我共摸了m次，其中有n次摸到白棋子，因此我估计口袋中大约有a个黑棋子.
池塘里有多少条鱼？（综合与实践课）-教学设计-刘刚
假设口袋中有x个黑棋子，通过多次试验，可以得出摸出白棋子的频率，依此，我们可以估计出从口袋中摸出一球，它为白棋子的概率.得：
解得：x≈a
在学生提出这一个方案后，教师可以提问：“ 为什么要再把棋子放回口袋中，如果不放回可以吗？”引起学生对问题中细节的关注。
第二种方案：
利用抽样调查的方法，从口袋中一次摸出10个棋子，求出其中白棋子与10的比值，再把棋子放回口袋中。不断重复上述过程。我总共摸了m次,白棋子与10的比值的平均数为n，因此，我估计口袋中大约有a个黑棋子.
池塘里有多少条鱼？（综合与实践课）-教学设计-刘刚
假设口袋中有x个黑棋子，通过多次抽样调查，求出样本中白棋子与总棋子数比值的“平均水平”n ，这个“平均水平”应近似等于口袋中白棋子的概率.得：
解得：x ≈a
在学生得到上述两种方案后，引导学生讨论：
1．这两种方案合理吗?两种方案的依据有什么不同？
（第一种方案是利用频率估计概率,第二种方案是利用样本估计总体.）
2. 这两种方案计算的结果一样吗？（两种方案的计算结果都是近似值，都有误差.）
3．怎样才能获得较为精确的估计值呢？
（保证摸球的随机性,使试验次数尽可能的多,进而求“平均值”,是减小误差的有效方法. 当总数较小时,用第一种的方法比较精确；当总数较大时,用第二种的方法具有现实意义.）
学生对问题的讨论的过程中，看法多种多样只要有道理教师应给予肯定与鼓励
活动注意事项： 应让学生自己思考得出结论，老师不要包办代替.
第五环节：形成经验
活动内容：我们是如何估计布袋有多少粒棋子的？
活动目的：引导学生对前面得到的方法进行总结。
第六环节：发展经验
活动内容：如果口袋中只有白色棋子，没有其它颜色的棋子，而且不允许将棋子倒出来，那么你如何估计白棋子数呢？
活动目的：学生们通过讨论可以把这个问题转化为刚才的问题，培养学生解决问题的能力。
活动注意事项与效果：整个活动中要充分调动学生的积极性，注意全体学生的参于，关注每一位学生表现.
第七环节：理解经验
活动内容：让学生总结寻找解决问题的最优方案，类比解决其它实际问题的方案.
活动目的：类比解决实际问题，提高学生变式解决问题的能力，同时学生掌握这一类问题的解题格式.
第八环节：迁移经验
活动内容：要想知道一桶黄大豆有多少粒，你有什么办法？
活动目的：让学生把得到的经验进行应用，巩固方法，提高能力。
第九环节：提升经验
活动内容：1.球，是一个符号，可以代表棋子，豆子，还可以表示什么呢？ 球能表示鱼吗？
2. 盒子，也是一个符号，可以代表…….
活动目的：发散学生思维，不局限于一类问题
第十环节：运用经验，解决问题
活动内容：要估计池塘里有多少条鱼，你现在有办法了吗？
活动目的：回归到本节课开始遇到的问题，学以致用，让学生体会到数学的应用价值。
第十一环节：活学活用，发展思维
活动内容：完成下列练习
活动目的：在解决问题时巩固新知.
活动过程：例1.樱桃小丸子想知道自家鱼塘中鱼的数量，她先从鱼塘中捞出100条鱼分别作上记号，再放回鱼塘，等鱼完全混合后，第一次捞出100条鱼，其中有4条带标记的鱼，放回会后，第二次又捞出100条鱼，其中有6条带标记的鱼，请你帮她估计鱼塘中鱼的数量是多少.
分析：引导学生利用样本估计总体的思想解决实际问题.同时加深对第二种方案的理解.
池塘里有多少条鱼？（综合与实践课）-教学设计-刘刚
池塘里有多少条鱼？（综合与实践课）-教学设计-刘刚
解：设鱼塘中鱼的数量有x条，依题意得，
解得x=2000.
所以估计鱼塘中鱼的数量大约有2000条.
第十二环节：拓展理解
活动内容：
1.你会解决类似下列问题吗？
（1）估计一片森林里有多少野鹿？
（2）估计某城区里有多少野猫？
（3）估计一片试验田的水稻产量是多少？
2.拓展阅读
在实际研究工作中，生态学家经常要估计所研究的生物种群的数量。常用的估计方法有两种：
一是抽样，就是在一个小区域内统计某种生物种群的数量（一个样本），并假设这个样本与较大区域具有相同的生物种群密度，由此可推算。
二是标记与再捕获研究，是指在一个较大区域内捕获一定数量的生物，做上标记后将它们放回，等它们在区域内混合后，再从这一区域内随机地捕获若干该种生物，看看其中有多少比例的生物做过标记，由此可推算。
这些方法都来自摸球游戏模型。
第十三环节：归纳总结
活动过程：
1.池塘里有多少条鱼是怎么估计的？
2.估计池塘里有多少条鱼的方法是怎样想到的？
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