北师大版九上数学 6.2《反比例函数的图象与性质》知识点精讲
扫码查看下载 全部资源 |
知识点讲解
（1）反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大。
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点。
在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|。
在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|2，且保持不变。
步骤：列表---描点---连线。
（1）列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值。
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确。
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线。
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。
视频讲解
视频讲解
图文解析
教学设计
【教材分析】
《反比例函数的图象与性质》安排在北师大版教材九年级上册，共分两课时，本节课是第二课时．在第一课时中，学生已经学会如何画反比例函数的图象，并对k＞0和k＜0时函数图象的特点有了初步的认识，本节课主要是在第一课时的基础上，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数的自身规律，在质疑、讨论、交流、总结中增强学生对图象的感知能力，加深对反比例函数性质和几何意义的理解和掌握。注意数形结合以及分类思想运用。
【学情分析】
特别是在学习一次函数时，学生已经掌握了如何画一次函数的图象，探究过一次函数的性质，积累了一定的活动经验和方法感悟，在此基础上学习反比例函数的图象与性质，可以让学生进一步体会函数的概念，进一步积累探究函数图象和性质的方法，为后续探究二次函数的图象和性质做好知识上和方法上的铺垫．学生对于画函数图象已经积累了一定的经验，所以画函数图象的过程不仅在于“画”，更在于 “探究”．为引导学生体会函数三种表示方法之间的联系和转化积累经验．九年级的学生已经具备了研究函数图象性质的许多方法，但是学习能力有所不同数形结合的抽象能力存在较大差异．所以需要教师在教学中不仅关注教法，更关注学法指导．同时，因为反比例函数较为抽象，所以学生学完性质直接应用的难度很大．这就需要教师精心设计教学方案帮助学生理解和掌握反比例函数的性质。
【教学目标】
知识与技能目标：
能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解反比例函数的主要性质。
提高学生观察、分析能力和对图象的感知水平，领会研究函数的一般要求。
过程和方法目标：
让学生经历知识的探究过程，通过全面的观察和比较，积累数学方法和活动经验。
逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合和分类讨论的数学思想。
情感、态度和价值观目标：
经历小组合作与交流活动，在质疑、追问、讨论中达成共识，发展合作能力和语言表达能力。
在教学目标的基础上制定如下的教学重点、教学难点：
重点：探索反比例函数的主要性质及K的几何意义。
难点：理解反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑问题。
【课前准备】
学生准备两组反比例函数图象，用作课堂探究。
【教具】多媒体及实物展示台
【学具】学习单及直尺
【教学过程】
回顾旧知
导入新课
教师活动：同学们，我们刚学了反比例函数的定义，会画反比例函数图象，并且根据反比例函数图象探究了一部分反比例函数的性质，请同学们回顾：
1、反比例函数的形状是什么？
2、它分布在哪些象限？
3、它的对称性有哪些？
学生活动：根据所学回答问题。
教师：这节课我们继续根据反比例函数的图象来探索它还有哪些性质。
【探究学习】
探究任务一：反比例函数的性质二
一、画出反比例y=6/x的图象。（在给出的直角坐标系中）
教师活动：请同学们拿出课前准备的第一道题，观察图象，说一说它有哪些性质呢？
学生活动：学生主要从以下几个方面回答：
1、函数图象分别位于哪几个象限内？
2、在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？ 文字“在每一个象限内”可以去掉吗，为什么？
3、反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？
4、它是中心对称图形吗？对称中心是什么？是轴对称图形吗？对称轴是什么？
二、画出反比例函数y=2/x，y=4/x，y=6/x的图象。（在给出的直角坐标系中）
教师活动：请同学们拿出课前准备的第二道题，观察图象，看看它们有哪些共同特征呢？
学生活动：学生主要从以下几个方面回答：
1、函数图象分别位于哪几个象限？
2、当x取什么值时，图象位于第一象限？当x取什么值时，图象位于第三象限？
3、在每个象限内,随着x值的增大，y的值怎样变化？
设计意图：
本环节意在通过观察三个反比例函数的图象，分析、归纳、概括出反比例函数的主要性质．在问题的设置上，引导学生从对图象的直观观察开始，逐步上升到理性的分析，顺应学生思维的发展，在有效的问题引领下，培养学生的逻辑思维能力和数形结合能力。
三、再考察当k=-2，-4，-6时，反比例函数y=k/x的图象，它们有哪些共同特征？
设计意图：
通过对k ＜0时反比例函数图象特征的探究，培养学生利用数形结合探究问题的意识，发展学生类比分析问题的能力，使学生在知识上更加完善，在能力上逐步提高．
四、你能尝试着说出反比例函数的图象有哪些特征吗？
（1）函数图象分别位于哪个象限内？
（2）在每个象限内,随着x值的增大，y的值怎样变化？
教师活动：课件演示当k＞0和k＜0时在每一象限任取两点，分别比较横纵坐标的大小关系。
学生活动：通过观察回答，得出反比例函数的增减性。
设计意图：
在具体问题探究的基础上，让学生尝试着总结反比例函数的图象性质，从具体问题的分析进一步上升到理性的概括、归纳．由特殊到一般形成反比例函数增减性等性质，自然得出结论。
新知应用：
试一试
设计意图：
通过几个小题目的练习，及时运用、巩固所学的知识，使学生加深对反比例函数性质的理解．运用变式训练，拓展学生思维的广度，渗透分类讨论的数学思想，在课堂上以小组合作交流的形式，调动每个学生的主观能动性，夯实基础。
探究任务二：反比例函数K的几何意义。
合作探究：
1、在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P分别作x轴、y轴的行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2。S1与S2有什么关系？为什么？
2、如图，P(x,y)是反比例函数y=k/x的图象在第一象限分支上的一个动点，过点P作PA⊥x轴于点A，连接PO，则△PAO的面积为 ．
教师活动：课件演示，小组合作探究K的几何意义。
学生活动：通过观察及小组讨论验证得出结论。
归纳小结：
在反比例函数y=k/x的图象上任取一点，过这一点分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积 ，且总等于常量 。连接该点与原点，还可得出两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于 。
设计意图：
在前面探究的基础上，对于一般的反比例函数，可以完全放手给学生，充分利用小组成员间的合作、探究、归纳、概括出一般性的结论—矩形面积总等于|K| ，教师在整个过程中要给以适时的点拨和及时的总结。
新知应用：
1、如图，两个反比例函数y=4/x和y=2/x在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为 .
设计意图：
本题考查了反比例函数系数k的几何意义并引导学生总结求阴影部分面积的方法：当它无法直接求出时，一般都采用“转化”的方法，将它转化为易求图形面积的和或差来进行计算．如本例就是将阴影部分面积转化为两个与比例系数相关的特殊三角形的面积的差来求，要注意转化思想和作差法的运用。
2、如图，点P、Q是反比例函数y=k/x图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的面积记为S2，则S1 S2．（填“＞”或“＜”或“=”）
设计意图：
本题考查了反比例函数系数k的几何意义和等量减等量差相等的数学原理。
【当堂检测】
设计意图：
巩固所学新知，加深对反比例函数性质以及反比例函数几何意义的理解和应用。
【课堂小结】
1、本节课你学到了反比例函数的哪些新知识?
2、你有哪些感悟和收获？
3、你还有什么疑惑吗？
设计意图：
引导学生关注数学的学习过程，及时总结、反思、交流，取长补短，共同提高。
【布置作业】
分层作业
一、必做题：教材157页2、3、4题
二、选做题：
1、如图，在平面直角坐标系中，函数y=k/x（k＞0）的图象经过点A（1，2）、B两点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，连接AB、BC．若△ABC的面积为3，则点B的坐标为 。
2、如图，分别过反比例函数y=3/x图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2），…，Pn（n，Pn）…．作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…，An …，连接A1P2，A2P3，…，An﹣1Pn，…，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3，依此类推，则点Bn的纵坐标是 。（结果用含n代数式表示）
3、如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的y=8/x图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积；
（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围。
设计意图：
对所学的新知识进行复习巩固,完成基础题部分内容,对于学有余力的学生进行必要的拓展延伸,强化其对所学新知识的理解和熟练运用,提高解题能力,获得更多收获。
【板书设计】
【教学设计反思】
1、学生在学习本节课前经历过一次函数图象和性质的探索过程，对本节课知识的学习起到引导作用．反比例函数的图象相对具有特殊性，使得学生对反比例函数图象和性质的探索过程更加关注。
2、教学设计中，特别注重了反比例函数性质的探索过程，通过问题的引领让学生更全面的对函数进行观察和比较，自然得出结论。
3、教学中关注了学生主体作用的发挥，教师进行适时点拨，教学中教师用鼓动性的语言，激发学生学习的兴趣增强信心。
名师精讲视频 扫码查看 | ||||
图文来自网络，版权归原作者，如有不妥，告知即删