苏教版九年级数学下册

(义务教育教科书)

全册教案

5.2 二次函数的图像和性质

一、 设计指导思想

1、体现基本理念：①数学源于实践，源于生活；②以学生发展为本；③数学教学是既活动的教学，又是探究的教学．

2、利用几何画板优势，为学生提供一个的自主学习、探究学习的空间和平台，为培养学生创新思想提供实践园地．更好地培养学生自主探究的能力，激发和调动学生进行学习的积极性．

二、教学思路设计

设计思路：整个课堂教学分为三个层次：

第一层次：通过观察、思考，直观感受二次函数图像与系数之间的关系．

第二层次：分析、归纳二次函数图像的特征并概括为思路、方法．

第三层次：能力迁移，在应用中，进一步深化学生的理解，渗透数形转化思想．

三、教材内容分析

《二次函数图像和性质》是苏科版义务教育教科书《数学》九年级下册第5章第2节的内容，在此之前，学生已经学习了一次函数和反比例函数的相关概念，掌握了一次函数及反比例函数的图像和性质的相关知识，知道了学习函数的步骤为“生活实际——归纳定义——书写表达式——画图像——探究性质——实际应用”，这无疑为这一章内容的学习提供了思路和方法，本章学习的经历也将为高中阶段复杂函数的学习提供借鉴和经验，随着学习地不断深入，一些方法如待定系数法、描点法、数形结合法等的掌握，学生对函数从最初“抽象模糊”印象逐渐转变为可以“照步骤、套模式”的直观感觉，这为本节课的教学实施提供了方法基础．因此，学生学习函数不能只停留在“照步骤、套模式”的机械解题上，其根本目标在于培养数学思维能力，发展数学学科核心素养． 函数的图像和性质是紧密融合的一个整体，观察图像可以得出性质，反之根据性质可以画出图像，图像和性质只有作为一个整体，才具备完整的意义．

四、教学目标分析

知识目标：

1、能利用“列表、描点、连线”的描点法画出反比例函数的图像，能根据图像归纳反比例函数的性质．

2、经历传统法画二次函数函数图像和利用几何画板软件“轨迹法”构造图像的过程，加强对“二次函数图像”性质的深度理解;

能力目标：

1、培养学生动手操作实验，发现问题，探究问题，解决问题的能力．

2、通过几何画板的动静互换演示及操作，进一步培养学生合情推理，分类讨论的能力及多媒体软件操作能力．

情感目标：

1、在探究学习中渗透函数思想，数形转化思想和数学建模思想．

2、在学生解决问题的过程中，激发学生的创新意识，培养学生坚韧不拔、勇于探索的学习品质．

3、在多媒体课件辅助教学中，更好地突出数学的过程教学，激发学生的探索激情．

五、教学重点和难点

教学重点：根据二次函数的图像，学会探索二次函数的性质．

利用几何画板软件辅助教学，让学生直观地观察运动过程，及时化解重点．

教学难点：渗透函数思想，数形转化思想和数学建模思想．

利用教具演示及练习材料的使用有效地提高学生的思维能力，从而化解难点．

六、教学对象分析

初三学生虽然已经学过一次函数的图像与性质，但是对函数图像的基本处理方法还是比较生疏，尤其是对图形变化的认识和函数性质之间关系的归纳上还显薄弱，而我校大多数学生数学基础较差，理解和接受较慢，因此在教学中，立足于学生的这种状况，我通过几何画板动态演示辅助教学，让学生体验数学是一个充满着观察、实验的探索过程，让学生乐意参与进来，使数学课成为学生自己建构的有效场所，同时给学生提供实际操作的机会，培养学生的交流能力及学习兴趣．

七、教学媒体设计

在基于几何画板软件在数学动态教学中，功能强大却又操作简单的优势，提供一个理想的让学生积极探索问题的动态教学环境，通过创设虚拟的“数学实验室”，现实学生作图绘画、图像处理，动态分析，仿真运动等操作，激发学习者的潜能多元智能发展．在设计时考虑到学生现有的智能发展水平的差异，尽可能设计一些不同的智能领域的操作演示，满足不同层次学生的需要．

八、教学策略设计

根据本节课的内容和学生实际水平，利用几何画板软件辅助教学，引导学生经历观察、猜想、实际操作验证、分析归纳推理等数学活动过程．①采用启发式教学法，引导学生展开丰富的想象，引导学生以动中观静为思维的突破口；②通过观察法，直观地感受图形变化的过程，变抽象为具体；③利用操作法，让学生通过动手操作、自主探究来提高学生运用信息技术的能力；④运用讨论法，培养学生尊重科学、尊重事实严谨细致的科学态度，发展学生自主探究、合作交流和分析归纳的能力．

九、教学过程设计

1． 利用几何画板动态实时功能，探究图像与系数的关系

探究活动一

依据已有的经验，你认为二次函数图像的不同与什么有关呢？

第一步：观察函数图像，猜想变化关系

（1）利用几何画板绘制二次函数图像．

（2）分别拖动A、B、C三点，观察a、b、c值和函数图像的变化情况．

第二步：变化函数数据，验证直观猜想

（3）慢慢拖动点A，观察思考：影响图像开口方向的因素是什么？影响开口大小的因素是什么？

（4）慢慢拖动点B，观察思考：能看出图像沿怎样的路径运动吗？开口情况会变化吗？

（5）慢慢拖动点C，观察思考：能看出图像沿怎样的路径运动吗？为什么会这样？

第二步：汇总函数数据，形成探究结论

（6）缺项探究，完成表格：

（7）写出二次函数图像与系数的关系．

教学策略分析：在学生掌握了二次函数的基本概念及图像的作法，对二次函数的图像有了基本认识和具体经验之后，教师首先让学生基于经验进行猜想，然后将制作好的几何画板文件（图1）分发给学生（图中A、B、C分别是垂直于x轴的的直线上的点，a、b、c是A、B、C三点的纵坐标，以a、b、c为系数建立函数y=ax²+bx+c）．接着，教师指导每位学生在学生端电脑操作，通过几何画板动态实时演示，形成猜想．再通过“控制变量”演示，验证猜想．从而体会函数解析式中系数对函数图形的形状、大小和位置的影响．最后让学生根据活动填写表格，形成明确的结论．经历从特殊到一般的归纳与猜想、再从一般到特殊的推广与验证的过程，发展学生的推理能力．

媒体辅助策略分析：几何画板的直观展示是实时的，其利在于提高课堂呈现的效率，其弊在于失去了好奇与想象的机会．因此，在提出问题后、动手操作前，必要的是：引导学生进行大胆的猜测和充分的表达，并将学生的猜测进行合理的串联．以便充分调动学生情绪，激发学生学习的主动性和积极性，为动手操作的目的进行有效定向．

2. 利用几何画板动态计算功能，探究顶点表达式

探究活动二

在二次函数图像中，你认为哪个点比较特殊，说说你的理由？

第一步：演示函数图像，发现规律特征

（1）利用几何画板展示二次函数图像（图2）．

（2）绘出点（h,k）和点（-h,k），你有什么发现？

第二步：转化函数形式，渗透形数思想

（3）对于一般的二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），它的图像的顶点如何获得？想想看．

（4）你能将一般式y=ax²+bx+c转化成y=a(x+h)²+k的形式吗？试试看．

（5）在图3中，直接绘出点（     ，       ），它是图像的顶点吗？

第三步：给出具体数据，形成解题方法

（6）已知二次函数的二次项系数是2，顶点坐标（-3，-2），你能写出此函数的一般式吗？

教学策略分析：在这一教学环节中，教师首先以顶点式y=a(x+h)²+k的形式给出二次函数及其图像，观察特殊点与函数图像的关系，体会顶点与顶点式的对应关系．然后思考一般的二次函数的图像顶点如何获得，发现一般式向顶点式转化的思考路径．接着，利用几何画板的计算功能让学生观察以所计算出的数值为坐标的点与函数图像之间的关系，验证发现．将二次函数图像的变化统一到顶点坐标的变化中，体会顶点坐标与二次函数一般式之间的关系．在这一过程中，即时计算，可以让学生聚焦有价值的思考过程，深切体悟转化思想和数形结合思想，训练学生思维，培育学生数学素养．

媒体辅助策略分析：以布鲁纳的发现学习理论为指导，利用几何画板的动态计算功能，即时计算、关注重点，展现问题的发生过程，使学生在观看动画的感性认识上进行理性思考，为形象思维到抽象思维的过渡架起桥梁，体现了教学的直观性原则．动态计算边探索边小结，既迅速及时，又灵活直观，逐步建构知识系统，将知识探究的过程直观呈现，为学生的亲身体验提供有效活动．

3. 利用几何画板动态变化功能，探究图像平移规律

探究活动三

当二次函数图像在坐标系中平移的时候，会有什么样的规律呢？你能类比一次函数图像平移规律作出猜想吗？

第一步：特殊性探究，体验直观感受

（1）请依次绘制函数y=2x²，y=2(x-3)²，y=2x²+3，y=2(x-3)²+3的图像（图3），有什么发现？

（2）要让函数y=2x²的图像向右平移3个单位，再向下平移3个单位，应该怎样做？请分别写出表达式，并绘制出图像，验证自己的猜想．

（3）你认为是什么因素决定了图像的左右移动，又是什么因素决定了图像的上下移动？

（4）通过观察，y=2(x-3)²+3是二次函数表达式的哪种形式？

第二步：一般化探究，归纳运动规律

（1）在图4所示的文件中绘制出函数y=a(x+h)²+k的图像．

（2）上下拖动点K，观察k值的变化和图像移动情况，你发现了什么规律？

（3）上下拖动点H，观察h值的变化和图像移动情况，你又发现了什么规律？

（4）绘制出顶点（-h,k），追踪顶点，慢慢拖动点H和点K，观察顶点运动路径，有什么发现？

（5）请用最简捷的语言归纳出二次函数图像移动的规律．

第三步：综合性运用，解决实际问题

（1）将函数y=x²-2x+1的图像左移2个单位，再上移3个单位，得到的函数是               ．

（2）已知函数y=2x²+4x-8的图像是将某函数图像右移1个单位，下移2个单位得到，则某函数的表达式是             ．

（3）将函数y=x²-4x+1的图像                （填移动方式）可以得到函数y=x²-6x+8的图像．

教学策略分析：首先让学生自主利用几何画板演示不同函数图像的特征，观察并猜想与函数解析式之间的对应关系，变抽象为直观，建立数与形之间的联系．在感性认识的基础上，利用几何画板演示同一函数图像上下、左右变化时函数解析式的变化，借此使学生深入理解函数图像变化的本质——解析式的变化．接着请一个学生拖动顶点坐标，让其他学生观察变化过程中函数图像的特征——变化的与不变的两个方面．在此过程中，师生依据观察、归纳猜想、操作验证、探究结论，体会函数图像运动变化的规律——顶点坐标的变化．最后，由学生运用刚学的解题思路解决问题，从而体会数学来源于实践，又作用于实践．在这一环节中，教师利用几何画板的动态变化功能演示变化，便于学生分析图形运动后各要素之间的关系，发现变化中的不变性，变化中的对应关系．这不仅要求学生能观察、会比较、擅分析，而且训练了学生的转化能力、概括能力和洞察本质的能力，让学生的思维深度卷入到探究过程中．

媒体辅助策略分析：建构主义者设计教学的依据是“在问题中学习”，通过问题的解决，使学生不仅经历完整的探究过程，享受合作探究的乐趣，而且学以致用，体验学习的价值感，更能激发学生对学习活动的持续关注，使学生处于学习活动的核心．设计探究问题，借助几何画板的动态变化演示，让函数图形的变化更为直观．不仅便于学生分析图像变化中各要素之间的关系，由特殊到一般地归纳发现其中的规律，而且可以聚焦教学难点，深度体验由感性到理性的认知过程．

4. 利用几何画板及时展示功能，探究图像性质应用

问题：如图8所示，△ABC中，AD⊥BC，AD=2cm，BC=4cm，E是AB上一点，EF⊥BC，EFGH是△ABC的内接矩形，当点E在AB上移动时，矩形EFGH的面积将发生变化，试问在什么情况下，其面积最大，最大面积是多少？

探究活动四

（1）度量出线段EF的长，矩形EFGH的面积。

（2）以EF长为x值，矩形面积为y值列表(EF长变化间隔为0.1cm)。

（3）绘制表中记录，得到如图9所示散点图。

（4）仔细观察散点图，可以发现矩形面积和EF长之间存在二次函数关系，且EF长只能在0到2之间变化，最大面积就是该二次函数图像顶点的纵坐标值。

（5）如果分别以BF、EH长为x值，矩形面积为y值列表，并绘制表中记录，也能得到类似的散点图，说明矩形面积分别和BF、EH长之间也存在二次函数关系，但到底取哪条线段的长为自变量呢？

余下由学生讨论完成，提醒学生注意自变量取值范围的确定，并绘制出函数图像。

教学策略分析：学生在自主探究的基础上，通过动手实验，再利用请学生上台利用几何画板实际操作展示图形的变化情况，验证自己由观察而得出的结论，老师在旁边指导操作，由学生运用刚学的解题思路解决问题，这符合循序渐进，由感性到理性的认知规律。变抽象为直观，使难点分散，易于理解。这样使学生不仅学以致用，而且体会到成功的喜悦，更能激发学生对学习活动的持续关注，使学生处于学习活动的核心。

媒体辅助策略分析：利用几何画板“数学实验室”的交互功能，给了学生参与的机会，可以让学生在自己操作中“学数学”、“做数学”，实现自我学习，使学生的想象力得到充分发挥，为探究性学习提供了极大的可能，同时学生对自己的任何发现，又可以利用几何画板得到及时地验证。

十、题目设计及教学步骤说明：

1、本课的四个探究题对二次函数图像的性质从不同的角度进行探索，从而将本节课的知识条理化，有助于突出重点和突破难点．题目设计体现分层教学思想，面向全体学生，并培养学生思维的发散性和深刻性，使其具有良好的思维品质．

2、几何画板在本节课为学生打通数和形的关系，已经显示出了很大的威力．但是，如果几何画板的直观性、形象性和动态等特点使用的不恰当，很容易代替抽象思维、想象能力的培养．所以我在设计教学步骤时，做了适当调整，做到既能帮助学生理解数学又能培养能力．

十一、设计的特色

本节课的教学设计从尊重学生的认知规律出发，由抽象、理论到具体、形象进行了切实的设计，别具匠心的利用几何画板动态、交互等功能，采取具体、直观、形象的教学方法，由浅入深、从形象到抽象的教学过程来突破重难点．充分显示了数形结合的魅力及现代信息技术在动态几何教学中的不可替代性，拓展学生的想象空间，启发学生的思维，充分发挥学生的主体作用，让学生在科学探究中，体验研究的方法并获得知识．

十二、新技术运用的特色

1、静态作图演示．以其直观的显示及灵活方便添辅助线，解决数形结合的问题．

2、动态变化演示．使静态变为动态，抽象变为形象，利于学生抽象思维能力的培养．

3、动静结合演示．在动静转化中训练学生的思维的深刻性，同时也刺激了学生，吸引了学生．

4、自主交互实验．可以给学生创造一个自主使用的认知、探究手段和解决问题的工具．

十三、从“四个理解”的角度对函数教学的思考

1、理解数学：对函数教材的深度加工

函数，其概念和性质都较抽象．深度加工的要旨在于深入：概念的本质——变化的依赖关系；性质的本质——变量变化中的不变性．把概念和性质的本质，借助几何画板的特殊功能进行直观而生动的呈现，让抽象可观察，让猜想可验证，让联系易发现．其中所蕴涵的逻辑结构、数学思想、方法结构、思维方式、思维品质、元认知能力，都是深度加工所应关注的内容，以便引导学生真实地经历、感受、探究、归纳和验证，提升学生的数学素养．

2、 理解技术：对技术工具的深度掌握

对技术工具的深度掌握，首先基于如何改变当前计算机辅助教学中存在的把多媒体设备当作课件的放映设备，CAI课件只辅教不辅学以及不能真正把学生摆在学习主体地位等问题．除了真正在观念上摆正师生在教学活动中的地位，充分认识计算机机辅助教学的“辅助性”等因素外，营造一个合适的能真正引导学生自主探究的平台也是至关重要的．

课例中将几何画板文件分发到每位学生的电脑端，师生共同操作探究，给学生动手操作的机会，为学生自主探究营造了一个良好的平台，提升了学生的参与率和参与度．学生在具身在场体验中，激活深度思维，突破学习的难点．随着后期学校“智慧课堂”的建设，几何画板融入课堂的形式可以转变为信息化合作式课堂、个性化交互式课堂等． 随着课堂教学形式的转变，几何画板软件的教学功能也可以更进一步———将当前的知识平移与加工功能逐渐推向模式创新、智慧课堂功能，当然，这需要今后更加深入地学习和研究

3、理解教学：对函数教学的深度理解

在利用软件平台引导学生探究时，教师的主导作用依然重要．既不能包办代替，也不能放任不管．教师应该是探究活动的设计者、组织者、指导者，同时也应该是探究活动的验收者．教师既要尊重每个学生的想法，做倾听的表率，引导学生相互倾听，又要把存在学习困难的边缘化学生作为课堂沟通的中心来对待，串联起不同学生的想法，让学习困难在相互倾听中获得解决．函数教学还要特别重视“由数想形，以形验数”的数形双向沟通的“反刍”，在“反刍”中深化对函数的理解．

4、理解学生：对函数学习的深度探究

函数是初中数学中最重要、最困难的内容，学好它的基本策略是引导学生进行深度探究．“教师要像采撷珠宝一样珍视每个儿童的发言”，充分保护学生勇于探求的精神，不能轻易否定任何一种探究路径，也不能轻易否定任何一个探究结果．用事实说话，大胆猜想、小心求证，培养学生的创新精神和探究兴趣．最好的函数学习是把探究工具教给学生，让他们在掌握工具的前提下，自己发现问题，设计探究思路，自主完成探究，从而提高学生“发现问题、提出问题、分析问题和解决问题”的能力．

一．教学目标：

能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。

二．教学重点：

      会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式

三．教学难点：

在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用

四．教学过程：

（一）知识回顾：二次函数表达式的三种表示：

一般式：       使用范围：已知任意三个点

顶点式：      使用范围：已知顶点（h,k)及另一点

交点式：  使用范围：已知与x轴的两个交点及另一个点

（二）试一试：（让学生选择合适的表达式求解二次函数的解析式）

（1）已知二次函数的图象经过点（-1，-5）、（1、-2和（2，1），求这个二次函数的解析式；

小结：此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：（1）熟悉待定系数法；（2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。

（2）已知抛物线的顶点为（3，-1），与y轴的交点为（0，2），求此抛物线的解析式 ；

小结：此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。

（3）已知抛物线与x轴交于A（-2，0）、B（1，0），并经过点M（0，-3），求此抛物线的解析式。

小结：已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：，其中为两交点的横坐标。

（三）探究：已知抛物线经过三点A(-2，0)、B(1，9)、C(4，0),求此抛物线的解析式。

小结：让学生自主探究，让学生思考可以有几种方法去求解函数解析式。

五．小结

1、二次函数解析式常用的有三种形式；

2、本节课是用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式。

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